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Calculus: Early Transcendental Fun...

7th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337552516

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Calculus: Early Transcendental Fun...

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Textbook Problem

Finding Upper and Lower Sums for a Region In Exercises 41-44, find the upper and lower sums for the region bounded by the graph of the function and the x-axis on the given interval. Leave your answer in terms of n, the number of subintervals

FunctionInterval

f ( x ) = 5 x 2 [0,1]

To determine

To calculate: The upper and lower sums for the region bounded by the graph of the provided function f(x)=5x2 in the interval [0,1] and x -axis.

Explanation

Given: The provided function is f(x)=5x2 in the interval [0,1].

And the number of subintervals to be used in the calculation of area is n.

Formula used: The sum of first n natural is given by the formula: i=1ni=n(n+1)2

The sum of a constant n times is written as: i=1nc=nc

Lower sum is calculated by formula: s=i=1nf(mi)Δx, Where mi are the left endpoints.

And the upper sum is calculated by: S=i=1nf(Mi)Δx, where Mi are the right endpoints.

Calculation: To begin, partition the interval [0,1] into n subintervals, each of width

Δx=10n=1n

Left endpoints (mi),

mi=0+(i1)(1n)=(i1n)

i=1,2,3,.......,n The lower sum (s) can be calculated by the formula:

s=i=1nf(mi)Δx,

Where, mi are the left end points.

By the left endpoints, the lower sum is: s=i=1nf(i1n)(1n)

Put value of f(i1n),

Factor out 5n3 from the sum,

i=1n5(i2+12in2)(1n)=5n3i=1n(i22i+1)

Split the summation into parts to use summation formulas:

5n3i=1n(i22i+1)=5n3i=1ni25n3i=1n2i+5n3i=1n1

Apply the formulas: i=1ni=n(n+1)2,i=1nc=nc,andi=1ni2=n(n+1)(2n+1)6

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P-3ESect-5.2 P-4ESect-5.2 P-5ESect-5.2 P-6ESect-5.2 P-7ESect-5.2 P-8ESect-5.2 P-9ESect-5.2 P-10ESect-5.2 P-11ESect-5.2 P-12ESect-5.2 P-13ESect-5.2 P-14ESect-5.2 P-15ESect-5.2 P-16ESect-5.2 P-17ESect-5.2 P-18ESect-5.2 P-19ESect-5.2 P-20ESect-5.2 P-21ESect-5.2 P-22ESect-5.2 P-23ESect-5.2 P-24ESect-5.2 P-25ESect-5.2 P-26ESect-5.2 P-27ESect-5.2 P-28ESect-5.2 P-29ESect-5.2 P-30ESect-5.2 P-31ESect-5.2 P-32ESect-5.2 P-33ESect-5.2 P-34ESect-5.2 P-35ESect-5.2 P-36ESect-5.2 P-37ESect-5.2 P-38ESect-5.2 P-39ESect-5.2 P-40ESect-5.2 P-41ESect-5.2 P-42ESect-5.2 P-43ESect-5.2 P-44ESect-5.2 P-45ESect-5.2 P-46ESect-5.2 P-47ESect-5.2 P-48ESect-5.2 P-49ESect-5.2 P-50ESect-5.2 P-51ESect-5.2 P-52ESect-5.2 P-53ESect-5.2 P-54ESect-5.2 P-55ESect-5.2 P-56ESect-5.2 P-57ESect-5.2 P-58ESect-5.2 P-59ESect-5.2 P-60ESect-5.2 P-61ESect-5.2 P-62ESect-5.2 P-63ESect-5.2 P-64ESect-5.2 P-65ESect-5.2 P-66ESect-5.2 P-67ESect-5.2 P-68ESect-5.2 P-69ESect-5.2 P-70ESect-5.2 P-71ESect-5.2 P-72ESect-5.2 P-73ESect-5.2 P-74ESect-5.2 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