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Calculus: Early Transcendental Fun...

7th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337552516

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Calculus: Early Transcendental Fun...

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Ron Larson + 1 other
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Textbook Problem

Evaluating a Limit In Exercises 3 and 4, use Example 1 as a model to evaluate the limit

lim n i = 1 n f ( c i ) Δ x i

Over the region bounded by the graphs of the equations.

f ( x ) = x , y = 0 , x = 0 , x = 3 ( Hint : Let c i = 3 i 2 n 2 . )

To determine

To calculate: The Riemann’s limit over the region bounded by the graphs of the equations f(x)=x y=0,x=0,x=3.

Explanation

Given: The provided equations are:

f(x)=x, y=0,x=0,x=3

The limit to evaluate is:

limni=1nf(ci)Δxi

Formula used:

The sum of first n natural numbers is given by the formula:

i=1ni=n(n+1)2

The sum of the squares of first n natural numbers is:

i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6

Calculation:

The limit to evaluate is

limni=1nf(ci)Δxi

Here ci is the right endpoints of the partition and Δxi is the width of the ith interval.

Assume that ci=3i2n2.

Therefore, the width of the ith interval is given as:

Δxi=3i2n23(i1)2n2=3i23(i2+12i)n2=6i3n2

So, the limit is:

limni=1nf(ci)Δxi=limni=1nf(3i2n2)Δxi

Put value of f(3i2n2) and Δxi in above equation:

limni=1nf(3i2n2)Δxi=limni=1n3i2n2(6i3n2)=limni=1n3ni(6i3n2)

Factor out 3

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P-3ESect-5.2 P-4ESect-5.2 P-5ESect-5.2 P-6ESect-5.2 P-7ESect-5.2 P-8ESect-5.2 P-9ESect-5.2 P-10ESect-5.2 P-11ESect-5.2 P-12ESect-5.2 P-13ESect-5.2 P-14ESect-5.2 P-15ESect-5.2 P-16ESect-5.2 P-17ESect-5.2 P-18ESect-5.2 P-19ESect-5.2 P-20ESect-5.2 P-21ESect-5.2 P-22ESect-5.2 P-23ESect-5.2 P-24ESect-5.2 P-25ESect-5.2 P-26ESect-5.2 P-27ESect-5.2 P-28ESect-5.2 P-29ESect-5.2 P-30ESect-5.2 P-31ESect-5.2 P-32ESect-5.2 P-33ESect-5.2 P-34ESect-5.2 P-35ESect-5.2 P-36ESect-5.2 P-37ESect-5.2 P-38ESect-5.2 P-39ESect-5.2 P-40ESect-5.2 P-41ESect-5.2 P-42ESect-5.2 P-43ESect-5.2 P-44ESect-5.2 P-45ESect-5.2 P-46ESect-5.2 P-47ESect-5.2 P-48ESect-5.2 P-49ESect-5.2 P-50ESect-5.2 P-51ESect-5.2 P-52ESect-5.2 P-53ESect-5.2 P-54ESect-5.2 P-55ESect-5.2 P-56ESect-5.2 P-57ESect-5.2 P-58ESect-5.2 P-59ESect-5.2 P-60ESect-5.2 P-61ESect-5.2 P-62ESect-5.2 P-63ESect-5.2 P-64ESect-5.2 P-65ESect-5.2 P-66ESect-5.2 P-67ESect-5.2 P-68ESect-5.2 P-69ESect-5.2 P-70ESect-5.2 P-71ESect-5.2 P-72ESect-5.2 P-73ESect-5.2 P-74ESect-5.2 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P-79ESect-5.5 P-80ESect-5.5 P-81ESect-5.5 P-82ESect-5.5 P-83ESect-5.5 P-84ESect-5.5 P-85ESect-5.5 P-86ESect-5.5 P-87ESect-5.5 P-88ESect-5.5 P-89ESect-5.5 P-90ESect-5.5 P-91ESect-5.5 P-92ESect-5.5 P-93ESect-5.5 P-94ESect-5.5 P-95ESect-5.5 P-96ESect-5.5 P-97ESect-5.5 P-98ESect-5.5 P-99ESect-5.5 P-100ESect-5.5 P-101ESect-5.5 P-102ESect-5.5 P-103ESect-5.5 P-104ESect-5.5 P-105ESect-5.5 P-106ESect-5.5 P-107ESect-5.5 P-108ESect-5.5 P-109ESect-5.5 P-110ESect-5.5 P-111ESect-5.5 P-112ESect-5.5 P-113ESect-5.5 P-114ESect-5.5 P-115ESect-5.5 P-116ESect-5.5 P-117ESect-5.5 P-118ESect-5.5 P-119ESect-5.5 P-120ESect-5.5 P-121ESect-5.5 P-122ESect-5.5 P-123ESect-5.5 P-124ESect-5.6 P-1ESect-5.6 P-2ESect-5.6 P-3ESect-5.6 P-4ESect-5.6 P-5ESect-5.6 P-6ESect-5.6 P-7ESect-5.6 P-8ESect-5.6 P-9ESect-5.6 P-10ESect-5.6 P-11ESect-5.6 P-12ESect-5.6 P-13ESect-5.6 P-14ESect-5.6 P-15ESect-5.6 P-16ESect-5.6 P-17ESect-5.6 P-18ESect-5.6 P-19ESect-5.6 P-20ESect-5.6 P-21ESect-5.6 P-22ESect-5.6 P-23ESect-5.6 P-24ESect-5.6 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