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Calculus: Early Transcendental Fun...

7th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337552516

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Calculus: Early Transcendental Fun...

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Textbook Problem

Evaluating a Definite Integral as a Limit In Exercises 5-10, evaluate the definite integral by the limit definition.

1 4 4 x 2 d x

To determine

To calculate: The definite integral 144x2dx by the limit definition.

Explanation

Given:

The integral to be calculated is:

144x2dx

Formula used:

The definite integral of f(x) from a to b is defined as:

abf(x)dx=limΔ0i=1nf(ci)Δxi

Where, a is the lower limit of integration and b is the upper limit of integration.

The sum of a constant n times is written as:

i=1nc=nc

Where, c is a constant.

The sum of first n terms is given by

i=1ni=n(n+1)2

The sum of squares of first n terms is written as:

i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6

Calculation:

The function f(x)=4x2 is integrable on the interval [1,4] because it is continuous on [1,4].

Moreover, the definition of integrability implies that any partition whose norm approaches 0 can be used to determine the limit.

For computational convenience, define Δ by subdividing [1,4] into n subintervals of equal width as below:

Δxi=4(1)n=3n

Choosing ci as the right endpoints of each subintervals produces,

ci=1+i(Δx)=1+i(3n)=3i+nn

So, the definite integral is:

144x2dx=limΔ0i=1nf(ci)Δxi

Since, ci=(3i+nn)

limΔ0i=1nf(ci)Δxi=limΔ0i=1nf(3i+nn)Δxi

Put the values of f(3i+nn) and Δxi

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P-3ESect-5.2 P-4ESect-5.2 P-5ESect-5.2 P-6ESect-5.2 P-7ESect-5.2 P-8ESect-5.2 P-9ESect-5.2 P-10ESect-5.2 P-11ESect-5.2 P-12ESect-5.2 P-13ESect-5.2 P-14ESect-5.2 P-15ESect-5.2 P-16ESect-5.2 P-17ESect-5.2 P-18ESect-5.2 P-19ESect-5.2 P-20ESect-5.2 P-21ESect-5.2 P-22ESect-5.2 P-23ESect-5.2 P-24ESect-5.2 P-25ESect-5.2 P-26ESect-5.2 P-27ESect-5.2 P-28ESect-5.2 P-29ESect-5.2 P-30ESect-5.2 P-31ESect-5.2 P-32ESect-5.2 P-33ESect-5.2 P-34ESect-5.2 P-35ESect-5.2 P-36ESect-5.2 P-37ESect-5.2 P-38ESect-5.2 P-39ESect-5.2 P-40ESect-5.2 P-41ESect-5.2 P-42ESect-5.2 P-43ESect-5.2 P-44ESect-5.2 P-45ESect-5.2 P-46ESect-5.2 P-47ESect-5.2 P-48ESect-5.2 P-49ESect-5.2 P-50ESect-5.2 P-51ESect-5.2 P-52ESect-5.2 P-53ESect-5.2 P-54ESect-5.2 P-55ESect-5.2 P-56ESect-5.2 P-57ESect-5.2 P-58ESect-5.2 P-59ESect-5.2 P-60ESect-5.2 P-61ESect-5.2 P-62ESect-5.2 P-63ESect-5.2 P-64ESect-5.2 P-65ESect-5.2 P-66ESect-5.2 P-67ESect-5.2 P-68ESect-5.2 P-69ESect-5.2 P-70ESect-5.2 P-71ESect-5.2 P-72ESect-5.2 P-73ESect-5.2 P-74ESect-5.2 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