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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

Sketch the curve using the guidelines of Section 3.5.

81. y = x ln x

To determine

To sketch: The graph of the curve y=xlnx, using the guidelines.

Explanation

Result used:

1. The second derivative Test: Suppose f is continuous near c, then as follows,

(i) If f(c)=0 and f(c)>0, then f has a local minimum at c.

(ii) If f(c)=0 and f(c)<0, then f has a local maximum at c.

2. Concavity Test:

(i) If f(x)>0 for all x in I, then the graph of f is concave upward on I.

(ii) If f(x)<0 for all x in I, then the graph of f is concave downward on I.

Calculation:

Domain:

The domain of the function is the set of values of x for which the function f(x) is real and defined.

Given curve is y=xlnx.

The natural logarithmic function is defined on 0<x<.

Here, it is observed that the function is defined in the given interval 0<x<.

That is, the domain of the function is 0<x<.

Intercepts

Consider f(x)=xlnx.

The y-intercept is the value of f(0), which is computed as follows.

f(0)=(0)ln(0)=undefined

That is, no y intercept.

Obtain the x-intercepts, by solving the equation y=0.

0=xlnxlnx=0x=e0x=1

That is, x-intercepts is 1.

Symmetry:

Determine the symmetry of the curve f(x)=xlnx from f(x).

f(x)=x(ln(x))=xln(x)

That is, the function f(x) is neither an odd function nor even function.

Asymptotes:

Compute limxf(x)orlimxf(x) to obtain the horizontal asymptotes.

limxf(x)=limxxlnx=

Compute the value of limxf(x).

limxf(x)=limxxlnx=

Therefore, the given curve has no horizontal asymptote

From the above calculation, no number a satisfies the below conditions.

(a) limxa+f(x)=(b) limxaf(x)=(c) limxa+f(x)=(b) limxaf(x)=

Therefore, the given curve has no vertical asymptote

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P-33ESect-6.2 P-34ESect-6.2 P-35ESect-6.2 P-36ESect-6.2 P-37ESect-6.2 P-38ESect-6.2 P-39ESect-6.2 P-40ESect-6.2 P-41ESect-6.2 P-42ESect-6.2 P-43ESect-6.2 P-44ESect-6.2 P-45ESect-6.2 P-46ESect-6.2 P-47ESect-6.2 P-48ESect-6.2 P-49ESect-6.2 P-50ESect-6.2 P-51ESect-6.2 P-52ESect-6.2 P-53ESect-6.2 P-54ESect-6.2 P-55ESect-6.2 P-56ESect-6.2 P-57ESect-6.2 P-58ESect-6.2 P-59ESect-6.2 P-60ESect-6.2 P-61ESect-6.2 P-62ESect-6.2 P-63ESect-6.2 P-65ESect-6.2 P-66ESect-6.2 P-67ESect-6.2 P-68ESect-6.2 P-69ESect-6.2 P-70ESect-6.2 P-71ESect-6.2 P-72ESect-6.2 P-73ESect-6.2 P-74ESect-6.2 P-75ESect-6.2 P-76ESect-6.2 P-77ESect-6.2 P-78ESect-6.2 P-79ESect-6.2 P-80ESect-6.2 P-81ESect-6.2 P-82ESect-6.2 P-83ESect-6.2 P-84ESect-6.2 P-85ESect-6.2 P-86ESect-6.2 P-87ESect-6.2 P-88ESect-6.2 P-89ESect-6.2 P-90ESect-6.2 P-91ESect-6.2 P-92ESect-6.2 P-93ESect-6.2 P-94ESect-6.2 P-95ESect-6.2 P-96ESect-6.2 P-97ESect-6.2 P-98ESect-6.2 P-99ESect-6.2 P-100ESect-6.2 P-101ESect-6.2 P-102ESect-6.2 P-103ESect-6.2 P-104ESect-6.2 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P-43ESect-6.3 P-44ESect-6.3 P-45ESect-6.3 P-46ESect-6.3 P-47ESect-6.3 P-48ESect-6.3 P-49ESect-6.3 P-50ESect-6.3 P-51ESect-6.3 P-52ESect-6.3 P-53ESect-6.3 P-54ESect-6.3 P-55ESect-6.3 P-56ESect-6.3 P-57ESect-6.3 P-58ESect-6.3 P-59ESect-6.3 P-60ESect-6.3 P-61ESect-6.3 P-62ESect-6.3 P-63ESect-6.3 P-64ESect-6.3 P-65ESect-6.3 P-66ESect-6.3 P-67ESect-6.3 P-68ESect-6.3 P-69ESect-6.3 P-70ESect-6.3 P-71ESect-6.3 P-72ESect-6.3 P-73ESect-6.3 P-74ESect-6.3 P-1AESect-6.3 P-2AESect-6.3 P-3AESect-6.3 P-4AESect-6.3 P-5AESect-6.3 P-6AESect-6.3 P-7AESect-6.3 P-8AESect-6.3 P-9AESect-6.3 P-10AESect-6.3 P-11AESect-6.3 P-12AESect-6.3 P-13AESect-6.3 P-14AESect-6.3 P-15AESect-6.3 P-16AESect-6.3 P-17AESect-6.3 P-18AESect-6.3 P-19AESect-6.3 P-20AESect-6.3 P-21AESect-6.3 P-22AESect-6.3 P-23AESect-6.3 P-24AESect-6.3 P-25AESect-6.3 P-26AESect-6.3 P-27AESect-6.3 P-28AESect-6.3 P-29AESect-6.3 P-30AESect-6.3 P-31AESect-6.3 P-32AESect-6.3 P-33AESect-6.3 P-34AESect-6.3 P-35AESect-6.3 P-36AESect-6.3 P-37AESect-6.3 P-38AESect-6.3 P-39AESect-6.3 P-40AESect-6.3 P-41AESect-6.3 P-42AESect-6.3 P-43AESect-6.3 P-44AESect-6.3 P-45AESect-6.3 P-46AESect-6.3 P-47AESect-6.3 P-48AESect-6.3 P-49AESect-6.3 P-50AESect-6.3 P-51AESect-6.3 P-52AESect-6.3 P-53AESect-6.3 P-54AESect-6.3 P-55AESect-6.3 P-56AESect-6.3 P-57AESect-6.3 P-58AESect-6.3 P-59AESect-6.3 P-60AESect-6.3 P-61AESect-6.3 P-62AESect-6.3 P-63AESect-6.3 P-64AESect-6.3 P-65AESect-6.3 P-66AESect-6.3 P-67AESect-6.3 P-68AESect-6.3 P-69AESect-6.3 P-70AESect-6.3 P-71AESect-6.3 P-72AESect-6.3 P-73AESect-6.3 P-74AESect-6.3 P-75AESect-6.3 P-76AESect-6.3 P-77AESect-6.3 P-78AESect-6.3 P-79AESect-6.3 P-80AESect-6.3 P-81AESect-6.3 P-82AESect-6.3 P-83AESect-6.3 P-84AESect-6.3 P-85AESect-6.3 P-86AESect-6.3 P-87AESect-6.3 P-88AESect-6.3 P-89AESect-6.3 P-90AESect-6.3 P-91AESect-6.3 P-92AESect-6.3 P-93AESect-6.3 P-94AESect-6.3 P-95AESect-6.3 P-96AESect-6.3 P-97AESect-6.3 P-98AESect-6.3 P-99AESect-6.3 P-100AESect-6.3 P-101AESect-6.3 P-102AESect-6.3 P-103AESect-6.3 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