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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

An equation of motion of the form s = A e c t cos ( ω t + δ ) represents damped oscillation of an object. Find the velocity and acceleration of the object.

To determine

To find: The velocity and acceleration of the object.

Explanation

Given:

The equation of the motion is of the form s=Aectcos(ωt+δ), represents damped oscillation of an object.

Calculation:

The velocity of the object is defined by the rate of change of position of the object with respect to time t.

Thus, the velocity of the object is given by v=dsdt.

Differentiate s=Aectcos(ωt+δ) with respect to t as follows.

dsdt=ddt(Aectcos(ωt+δ))=A[ectddt(cos(ωt+δ))+cos(ωt+δ)ddt(ect)]=A[ect(sin(ωt+δ))ddt(ωt+δ)+cos(ωt+δ)ectddt(ct)]=A[ect(sin(ωt+δ))(ω)+cos(ωt+δ)ect(c)]

Hence, the velocity of the object v=Aect(ωsin(ωt+δ)+ccos(ωt+δ)).

Obtain the acceleration of the object as follows.

The acceleration of the object is rate of change of velocity with respect to time t.

That is, the acceleration a=dvdt.

Differentiate the v=Aect(ωsin(ωt+δ)+ccos(ωt+δ)) with respect to t.

a=ddt(Aect(ωsin(ωt+δ)+ccos(ωt+δ)))=Aectddt(ωsin(ωt+δ)+ccos(ωt+δ))A(ωsin(ωt+δ)+ccos(ωt+δ))ddt(ect)

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