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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

Show that h(x) = sin x, x , is not one-to-one, but its restriction f(x) = sin x, –π/2 „ xπ/2, is one-to-one. Compute the derivative of f–1 = sin–1 by the method of Note 2.

To determine

To show: The function h(x)=sinx,x is not one to one, but its restriction f(x)=sinx,π2xπ2 is one to one and compute the derivative of f1=sin1.

Explanation

The given function is h(x)=sinx,x.

Use horizontal line test to determine whether the function h(x)=sinx is one-to-one for x.

Horizontal line test states that the graph of the function is one-to-one function if and only if a horizontal line intersects the graph exactly once.

Sketch the graph of the function h(x)=sinx for x and perform the horizontal line test as shown below in Figure 1.

From Figure 1, it is observed that any horizontal line intersect the curve at more than one point.

Thus, the horizontal line test fails for the function h(x)=sinx,x.

Therefore, the function h(x)=sinx,x is not one-to-one function.

The restriction function is given as, f(x)=sinx,π2xπ2.

Sketch the graph of the function f(x)=sinx for π2xπ2 and perform the horizontal line test as shown below in Figure 2.

From Figure 1, it is observed that any horizontal line intersect the curve exactly once.

Thus, the horizontal line test holds true for the function f(x)=sinx,π2xπ2.

Therefore, the function f(x)=sinx,π2xπ2 is one-to-one function

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