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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

Discuss the curve under the guidelines of Section 3.5.

58. y = ln ( 1 + x 3 )

To determine

To discuss: The curve y=ln(1+x3) using the guidelines.

Explanation

Domain:

Given curve is y=ln(1+x3).

Let the curve be f(x)=ln(1+x3).

The logarithmic function is defined only for all positive values of x.

Here, 1+x3>0 that is x>1 for all x. Therefore, the function f(x)=ln(1+x3) is defined only when x>1

Therefore, the domain of the curve y=ln(1+x3) is (1,).

Intercepts:

To obtain the y-intercepts, substitute x=0 in y=ln(1+x3).

f(0)=ln(1+03)f(0)=ln(1)f(0)=0

The y-intercept for the function is y=0

To obtain the x-intercepts, substitute y=0 in y=ln(1+x3) and solve for x.

ln(1+x3)=0eln(1+x3)=e01+x3=1x3=0

x=0

The x-intercept of the function is x=0.

Symmetry:

If f(x)=f(x) for all x in D, then f is an even function and the curve is symmetric about the y-axis.

If f(x)=f(x) for all x in D, then f is an odd function and the curve is symmetric about the origin.

If f(x+p)=f(x) for all x in D, where p is a positive constant, then f is called a periodic function and the smallest such number p is called the period.

Determine the symmetry of the curve f(x)=ln(1+x3), compute f(x).

f(x)=ln(1+(x)3)=ln(1x2)f(x),f(x)

The function f(x) is neither an even function nor an odd function.

Therefore, the given curve is no symmetrical about any of the axis.

Asymptotes:

Horizontal asymptotes: If either limxf(x)=L or limxf(x)=L, then the line y = L is a horizontal asymptote of the curve y=f(x). If it turns out that, limxf(x)= (or ), then asymptote doesn’t exist to the right.

Vertical asymptotes: The line x=a is a vertical asymptote if at least one of the following statements is true.

limxa+f(x)=limxa+f(x)=limxaf(x)=limxaf(x)=

To obtain the horizontal asymptotes, compute limxf(x)orlimxf(x).

limxf(x)=limxln(1+x3)=ln(limx(1)+limx(x3))=ln(1+)=

limxf(x)=limxln(1+x3)=ln(limx(1)+limx(x3))=ln(1+)=

Therefore, the given curve has no horizontal asymptote.

The function f(x)=ln(1+x3) is undefined at x=1.

Therefore, there is vertical asymptote at x=1.

Intervals of Increase or Decrease:

Obtain the intervals of increase and decrease; compute the derivative of f(x) as follows

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