Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636



Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

Discuss the curve using the guidelines of Section 3.5.

74. y = e x sin x , 0 x 2 π

To determine

To discuss: The curve using the guidelines of Section 3.5.



The curve is y(x)=exsinx.

Definition used:


Even function: The function f is said to be even if f(x)=f(x), for all x in D.

Odd function: The function f is said to be odd if f(x)=f(x), for all x in D.

Periodic function: The function f is said to be periodic if f(x+p)=f(x), for all x in D, where p is a positive constant.


Horizontal Asymptote: If either limxf(x)=L or limxf(x)=L, then the line y=L is a horizontal asymptote of the curve y=f(x).

Vertical Asymptote: The line x=a is a vertical if at least one of the following statements is true.

(1) limxa+f(x)=

(2) limxaf(x)=

(3) limxa+f(x)=

(4) limxaf(x)=

Concave upward and concave downward:

(a) If f(x)>0 for all x in I, then the graph of f is concave upward on I.

(b) If f(x)<0 for all x in I, then the graph of f is concave downward on I.

Inflection point:

A point P on a curve under the function f(x) is called an inflection point if f is continuous and curve changes from concave upward to concave downward or from concave downward to concave upward at P.


Part A:

The given function y(x)=exsinx, defined on [0,2π].

Thus, the domain will be [0,2π].

Part B:

The y intercept is given by y(0).



That is, the y intercept is 0.

The x intercept is determined by y(x)=0.

That is, y(x)=0 implies that exsinx=0.

Notice that the exponential function is never zero.

Thus, the only possibility is sinx=0.

That is, x=0,π,2π.

Thus, the x intercepts are x=0,π,2π.

Part C:

Check the symmetry of y(x) as follows.



Since y(x)y(x) and y(x)y(x), there is no symmetry.

Part D:

The asymptotes are found as follows.

The value of limx(exsinx) is not a finite value.

Therefore, by the definition, there is no horizontal asymptote.

Similarly, there is no value for a such that at least one of the following statements is true.

(1) limxa+f(x)=

(2) limxaf(x)=

(3) limxa+f(x)=

(4) limxaf(x)=

Therefore, by the definition, there is no vertical asymptote.

Part E:

Obtain the derivative of y(x).


That is, y(x)=ex(cosxsinx).                                                                          (1)

If y>0, then ex(cosxsinx)>0.

Since the exponential function is always positive, cosx>sinx.

This happens for the interval, (0,π4) and (3π4,2π)

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