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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

Discuss the curve using the guidelines of Section 3.5.

75. y = 1 / ( 1 + e x )

To determine

To discuss: The curve using the guidelines of Section 3.5.

Explanation

Given:

The curve is y(x)=11+ex.

Definition used:

Symmetry:

Even function: The function f is said to be even if f(x)=f(x), for all x in D.

Odd function: The function f is said to be odd if f(x)=f(x), for all x in D.

Periodic function: The function f is said to be periodic if f(x+p)=f(x), for all x in D, where p is a positive constant.

Asymptotes:

Horizontal Asymptote: If either limxf(x)=L or limxf(x)=L, then the line y=L is a horizontal asymptote of the curve y=f(x).

Vertical Asymptote: The line x=a is a vertical if at least one of the following statements is true.

(1) limxa+f(x)=

(2) limxaf(x)=

(3) limxa+f(x)=

(4) limxaf(x)=

Concave upward and concave downward:

(a) If f(x)>0 for all x in I, then the graph of f is concave upward on I.

(b) If f(x)<0 for all x in I, then the graph of f is concave downward on I.

Inflection point:

A point P on a curve under the function f(x) is called an inflection point if f is continuous and curve changes from concave upward to concave downward or from concave downward to concave upward at P.

Calculation:

Part A:

The given function y(x)=11+ex.

The function will be undefined if the denominator is zero.

That is,

1+ex=0ex=1

Since, the exponential function is always positive, the given function is defined for all real numbers.

Thus, the domain will be (,).

Part B:

The y intercept is given by y(0).

Thus,

y(0)=11+e0=12=0.5

That is, the y intercept is 0.5.

The x intercept is determined by y(x)=0.

That is, y(x)=0 implies that 11+ex=0.

Notice that the exponential function is always positive.

Thus, there are no x intercepts.

Part C:

Check the symmetry of y(x) as follows.

y(x)=11+e(x)=11+exy(x)

y(x)=11+e(x)=11+exy(x)

Since y(x)y(x) and y(x)y(x), there is no symmetry.

Part D:

The asymptotes are found as follows.

limx11+ex=11+limxex=11+e=1

limx11+ex=11+limxex=11+e=1=0

Therefore, by the definition, the lines y=0 and y=1 are the horizontal asymptotes.

There is no value for a such that at least one of the following statements is true.

(1) limxa+f(x)=

(2) limxaf(x)=

(3) limxa+f(x)=

(4) limxaf(x)=

Therefore, by the definition, there is no vertical asymptote.

Part E:

Obtain the derivative of y(x).

y(x)=ddx(11+ex)=(1+ex)ddx(1)1ddx(1+ex)(1+ex)2=(1+ex)(0)(ex)(1+ex)2=ex(1+ex)2

That is, y(x)=ex(1+ex)2

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P-43ESect-6.3 P-44ESect-6.3 P-45ESect-6.3 P-46ESect-6.3 P-47ESect-6.3 P-48ESect-6.3 P-49ESect-6.3 P-50ESect-6.3 P-51ESect-6.3 P-52ESect-6.3 P-53ESect-6.3 P-54ESect-6.3 P-55ESect-6.3 P-56ESect-6.3 P-57ESect-6.3 P-58ESect-6.3 P-59ESect-6.3 P-60ESect-6.3 P-61ESect-6.3 P-62ESect-6.3 P-63ESect-6.3 P-64ESect-6.3 P-65ESect-6.3 P-66ESect-6.3 P-67ESect-6.3 P-68ESect-6.3 P-69ESect-6.3 P-70ESect-6.3 P-71ESect-6.3 P-72ESect-6.3 P-73ESect-6.3 P-74ESect-6.3 P-1AESect-6.3 P-2AESect-6.3 P-3AESect-6.3 P-4AESect-6.3 P-5AESect-6.3 P-6AESect-6.3 P-7AESect-6.3 P-8AESect-6.3 P-9AESect-6.3 P-10AESect-6.3 P-11AESect-6.3 P-12AESect-6.3 P-13AESect-6.3 P-14AESect-6.3 P-15AESect-6.3 P-16AESect-6.3 P-17AESect-6.3 P-18AESect-6.3 P-19AESect-6.3 P-20AESect-6.3 P-21AESect-6.3 P-22AESect-6.3 P-23AESect-6.3 P-24AESect-6.3 P-25AESect-6.3 P-26AESect-6.3 P-27AESect-6.3 P-28AESect-6.3 P-29AESect-6.3 P-30AESect-6.3 P-31AESect-6.3 P-32AESect-6.3 P-33AESect-6.3 P-34AESect-6.3 P-35AESect-6.3 P-36AESect-6.3 P-37AESect-6.3 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