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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

(a) Use the inequality of Exercise 109(a) to show that, for x … 0,

e x 1 + x + 1 2 x 2

(b) Use part (a) to improve the estimate of 0 1 e x 2 given in Exercise 109(b).

109. (a)    Show that ex … 1 + x if x … 0.

[Hint: Show that f(x) = ex (1 + x) is increasing for x > 0.]

(b) Deduce that 4 3 0 1 e x 2 d x e .

(a)

To determine

To show: The inequality ex1+x+12x2 is true for all x0.

Explanation

Proof:

Consider the function, f(x)=ex(1+x+x22).

Obtain the derivative of f(x).

f(x)=ddx(ex(1+x+x22))=ex(0+1+2x2)=ex(1+x)

From the question 109(a), it is observed that ex1+x for all x0.

Thus,

ex1+xex(1+x)0f(x)0

Hence, the function f(x) is increasing for all x0

(b)

To determine
The value of 01ex2dx with the help of part (a).

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