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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

The family of bell-shaped curves

y = 1 σ 2 π e ( x μ ) 2 / ( 2 σ 2 )

occurs in probability and statistics, where it is called the normal density function. The constant μ is called the mean and the positive constant σ is called the standard deviation. For simplicity, let’s scale the function so as to remove the factor 1 / σ 2 π and let’s analyze the special case where μ = 0. So we study the function

f ( x ) = e x 2 / ( 2 σ 2 )

(a) Find the asymptote, maximum value, and inflection points of f.

(b) What role does σ play in the shape of the curve?

(c) Illustrate by graphing four members of this family on the same screen.

(a)

To determine

To find: The asymptote, maximum value and inflection point of the given function.

Explanation

Given:

The function is f(x)=ex22σ2.

Calculation:

Consider the standard deviation σ=1.

Horizontal asymptote is obtained by applying the limit value for the function.

That is limx±f(x)=k, where k is any real number.

When x approaches ,

limxf(x)=limxex22=e()22=e=0

When x approaches ,

limxf(x)=limxex22=e()22=e=0

As x, the function approaches y=0 and as x the function approaches y=0.

Therefore, the horizontal asymptotes is y=0.

To check the maximum value of the function f(x), find f(x) as follows.

f(x)=ddxex22σ2=ex2(2σ)2(2x2σ2)=xσ2ex22σ2

Set f(x)=0 to find the value of x.

xσ2ex22σ2=0xσ2=0x=0

Substitute x=0 in f(x) to find the maximum value.

f(0)=e(0)22σ2=e0=1

Hence, the maximum value of the function is f(0)=1

(b)

To determine

To explain: The role of standard deviation σ in the curve y=1σ2πe(xμ)22σ2.

(c)

To determine

To sketch: The graph of four members of family of bell shaped curves y=1σ2πe(xμ)22σ2.

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