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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

The table gives estimates of the world population, in millions from 1750 to 2000.

Year Population
1750
1800
1850
1900
1950
2000
790
980
1260
1650
2560
6080

(a) Use the exponential model and the population figures for 1750 and 1800 to predict the world population in 1900 and 1950. Compare with the actual figures.

(b) Use the exponential model and the population figures for 1850 and 1900 to predict the world population in 1950. Compare with the actual population.

(c) Use the exponential model and the population figures for 1900 and 1950 to predict the world population in 2000. Compare with the actual population and try to explain the discrepancy.

To determine

To evaluate:

a) Predict population of year 1900 and 1950 using population of year 1750 and 1800 and compare this population with the actual one.

b) Predict population of year 1950 using population of year 1850 and 1900 and compare this population with the actual one.

c) Predict population of year 2000 using population of year 1900 and 1950 and compare this population with the original one.

Explanation

We measure time t in years and let P(t) denotes the population, in millions, in t years.

Given that: The table that gives estimates of the world populations, in millions, from year 1750 to 2000:

Formula used:

(1) Model of exponential population growth: P(t)=P(0)ekt where k denotes the relative growth.

Calculation:

Part (a):

In this case assume population of 1750 as initial population i.e.

P(0) = 790

Then, population in year 1800 becomes:

P(50) = population in year 1800 = 980. 

Consider, the model of exponential growth for the population in world

P(t)=P(0)ekt

Replace value P(0)=790. Replace this value in above model, we getP(t)=790ekt                                                                     (1)

Put P(50)=980 in equation (1), we get980=P(50)    =790e50k

Divide both side by 790, we get9879=e50kTaking log both side, we getln9879=lne50k         =50kTherefore, k=150ln98790.00431/year

Replace value k=0.00431  in equation (1), we getP(t)=790e0.00431t                                       (2)

Year 1900 is after 150 year from the initial time i.e. year 1750. So, put t =150 in equation (2), we get

P(150)=790e0.00431×150            =790×e0.6465            1507.99

Year 1950 is after 200 year from the initial time i.e. year 1750. So, put t =200 in equation (2), we get

P(200)=790e0.00431×200            =790×e0.862            1870.63

Conclusion (a): Thus, the predicted population in year 1900 is 1508 and population in year 1950 is 1871. Here, both the populations of year 1900 and 1950 are lower than the actual population. 

Part (b):

In this case assume population of 1850 as initial population i.e.

P(0) = 1260

Then, population in year 1900 becomes:

P(50) = population in year 1900 = 1650. 

Consider, the model of exponential growth for the population in world

P(t)=P(0)ekt

Replace value P(0)=1260. Replace this value in above model, we getP(t)=1260ekt                                                                     (3)

Put P(50)=1650 in equation (3), we get1650=P(50)      =1260e50k

Divide both side by 1260, we get5542=e50kTaking log both side, we getln5542=lne50k         =50kTherefore, k=150ln55420

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P-32ESect-6.2 P-33ESect-6.2 P-34ESect-6.2 P-35ESect-6.2 P-36ESect-6.2 P-37ESect-6.2 P-38ESect-6.2 P-39ESect-6.2 P-40ESect-6.2 P-41ESect-6.2 P-42ESect-6.2 P-43ESect-6.2 P-44ESect-6.2 P-45ESect-6.2 P-46ESect-6.2 P-47ESect-6.2 P-48ESect-6.2 P-49ESect-6.2 P-50ESect-6.2 P-51ESect-6.2 P-52ESect-6.2 P-53ESect-6.2 P-54ESect-6.2 P-55ESect-6.2 P-56ESect-6.2 P-57ESect-6.2 P-58ESect-6.2 P-59ESect-6.2 P-60ESect-6.2 P-61ESect-6.2 P-62ESect-6.2 P-63ESect-6.2 P-64ESect-6.2 P-65ESect-6.2 P-66ESect-6.2 P-67ESect-6.2 P-68ESect-6.2 P-69ESect-6.2 P-70ESect-6.2 P-71ESect-6.2 P-72ESect-6.2 P-73ESect-6.2 P-74ESect-6.2 P-75ESect-6.2 P-76ESect-6.2 P-77ESect-6.2 P-78ESect-6.2 P-79ESect-6.2 P-80ESect-6.2 P-81ESect-6.2 P-82ESect-6.2 P-83ESect-6.2 P-84ESect-6.2 P-85ESect-6.2 P-86ESect-6.2 P-87ESect-6.2 P-88ESect-6.2 P-89ESect-6.2 P-90ESect-6.2 P-91ESect-6.2 P-92ESect-6.2 P-93ESect-6.2 P-94ESect-6.2 P-95ESect-6.2 P-96ESect-6.2 P-97ESect-6.2 P-98ESect-6.2 P-99ESect-6.2 P-100ESect-6.2 P-101ESect-6.2 P-102ESect-6.2 P-103ESect-6.2 P-104ESect-6.2 P-105ESect-6.2 P-106ESect-6.2 P-107ESect-6.2 P-108ESect-6.2 P-109ESect-6.2 P-110ESect-6.2 P-111ESect-6.3 P-1ESect-6.3 P-2ESect-6.3 P-3ESect-6.3 P-4ESect-6.3 P-5ESect-6.3 P-6ESect-6.3 P-7ESect-6.3 P-8ESect-6.3 P-9ESect-6.3 P-10ESect-6.3 P-11ESect-6.3 P-12ESect-6.3 P-13ESect-6.3 P-14ESect-6.3 P-15ESect-6.3 P-16ESect-6.3 P-17ESect-6.3 P-18ESect-6.3 P-19ESect-6.3 P-20ESect-6.3 P-21ESect-6.3 P-22ESect-6.3 P-23ESect-6.3 P-24ESect-6.3 P-25ESect-6.3 P-26ESect-6.3 P-27ESect-6.3 P-28ESect-6.3 P-29ESect-6.3 P-30ESect-6.3 P-31ESect-6.3 P-32ESect-6.3 P-33ESect-6.3 P-34ESect-6.3 P-35ESect-6.3 P-36ESect-6.3 P-37ESect-6.3 P-38ESect-6.3 P-39ESect-6.3 P-40ESect-6.3 P-41ESect-6.3 P-42ESect-6.3 P-43ESect-6.3 P-44ESect-6.3 P-45ESect-6.3 P-46ESect-6.3 P-47ESect-6.3 P-48ESect-6.3 P-49ESect-6.3 P-50ESect-6.3 P-51ESect-6.3 P-52ESect-6.3 P-53ESect-6.3 P-54ESect-6.3 P-55ESect-6.3 P-56ESect-6.3 P-57ESect-6.3 P-58ESect-6.3 P-59ESect-6.3 P-60ESect-6.3 P-61ESect-6.3 P-62ESect-6.3 P-63ESect-6.3 P-64ESect-6.3 P-65ESect-6.3 P-66ESect-6.3 P-67ESect-6.3 P-68ESect-6.3 P-69ESect-6.3 P-70ESect-6.3 P-71ESect-6.3 P-72ESect-6.3 P-73ESect-6.3 P-74ESect-6.4 P-1ESect-6.4 P-2ESect-6.4 P-3ESect-6.4 P-4ESect-6.4 P-5ESect-6.4 P-6ESect-6.4 P-7ESect-6.4 P-8ESect-6.4 P-9ESect-6.4 P-10ESect-6.4 P-11ESect-6.4 P-12ESect-6.4 P-13ESect-6.4 P-14ESect-6.4 P-15ESect-6.4 P-16ESect-6.4 P-17ESect-6.4 P-18ESect-6.4 P-19ESect-6.4 P-20ESect-6.4 P-21ESect-6.4 P-22ESect-6.4 P-23ESect-6.4 P-24ESect-6.4 P-25ESect-6.4 P-26ESect-6.4 P-27ESect-6.4 P-28ESect-6.4 P-29ESect-6.4 P-30ESect-6.4 P-31ESect-6.4 P-32ESect-6.4 P-33ESect-6.4 P-34ESect-6.4 P-35ESect-6.4 P-36ESect-6.4 P-37ESect-6.4 P-38ESect-6.4 P-39ESect-6.4 P-40ESect-6.4 P-41ESect-6.4 P-42ESect-6.4 P-43ESect-6.4 P-44ESect-6.4 P-45ESect-6.4 P-46ESect-6.4 P-47ESect-6.4 P-48ESect-6.4 P-49ESect-6.4 P-50ESect-6.4 P-51ESect-6.4 P-52ESect-6.4 P-53ESect-6.4 P-54ESect-6.4 P-55ESect-6.4 P-56ESect-6.4 P-57ESect-6.4 P-58ESect-6.4 P-59ESect-6.4 P-60ESect-6.4 P-61ESect-6.4 P-62ESect-6.4 P-63ESect-6.4 P-64ESect-6.4 P-65ESect-6.4 P-66ESect-6.4 P-67ESect-6.4 P-68ESect-6.4 P-69ESect-6.4 P-70ESect-6.4 P-71ESect-6.4 P-72ESect-6.4 P-73ESect-6.4 P-74ESect-6.4 P-75ESect-6.4 P-76ESect-6.4 P-77ESect-6.4 P-78ESect-6.4 P-79ESect-6.4 P-80ESect-6.4 P-81ESect-6.4 P-82ESect-6.4 P-83ESect-6.4 P-84ESect-6.4 P-85ESect-6.4 P-86ESect-6.4 P-87ESect-6.4 P-88ESect-6.4 P-89ESect-6.4 P-90ESect-6.4 P-91ESect-6.4 P-92ESect-6.4 P-93ESect-6.4 P-94ESect-6.2Star P-1ESect-6.2Star P-2ESect-6.2Star P-3ESect-6.2Star P-4ESect-6.2Star P-5ESect-6.2Star P-6ESect-6.2Star P-7ESect-6.2Star P-8ESect-6.2Star P-9ESect-6.2Star P-10ESect-6.2Star P-11ESect-6.2Star P-12ESect-6.2Star P-13ESect-6.2Star P-14ESect-6.2Star P-15ESect-6.2Star P-16ESect-6.2Star P-17ESect-6.2Star P-18ESect-6.2Star P-19ESect-6.2Star P-20ESect-6.2Star P-21ESect-6.2Star P-22ESect-6.2Star P-23ESect-6.2Star P-24ESect-6.2Star P-25ESect-6.2Star P-26ESect-6.2Star P-27ESect-6.2Star P-28ESect-6.2Star P-29ESect-6.2Star P-30ESect-6.2Star P-31ESect-6.2Star P-32ESect-6.2Star P-33ESect-6.2Star P-34ESect-6.2Star P-35ESect-6.2Star P-36ESect-6.2Star P-37ESect-6.2Star P-38ESect-6.2Star P-39ESect-6.2Star P-40ESect-6.2Star P-41ESect-6.2Star P-42ESect-6.2Star P-43ESect-6.2Star P-44ESect-6.2Star P-45ESect-6.2Star P-46ESect-6.2Star P-47ESect-6.2Star P-48ESect-6.2Star P-49ESect-6.2Star P-50ESect-6.2Star P-51ESect-6.2Star P-52ESect-6.2Star P-53ESect-6.2Star P-54ESect-6.2Star P-55ESect-6.2Star P-56ESect-6.2Star P-57ESect-6.2Star P-58ESect-6.2Star P-59ESect-6.2Star P-60ESect-6.2Star P-61ESect-6.2Star P-62ESect-6.2Star P-63ESect-6.2Star P-64ESect-6.2Star P-65ESect-6.2Star P-66ESect-6.2Star P-67ESect-6.2Star P-68ESect-6.2Star P-69ESect-6.2Star P-70ESect-6.2Star P-71ESect-6.2Star P-72ESect-6.2Star P-73ESect-6.2Star P-74ESect-6.2Star P-75ESect-6.2Star P-76ESect-6.2Star P-77ESect-6.2Star P-78ESect-6.2Star P-79ESect-6.2Star P-80ESect-6.2Star P-81ESect-6.2Star P-82ESect-6.2Star P-83ESect-6.2Star P-84ESect-6.2Star P-85ESect-6.2Star P-86ESect-6.2Star P-87ESect-6.2Star P-88ESect-6.2Star P-89ESect-6.3Star P-1ESect-6.3Star P-2ESect-6.3Star P-3ESect-6.3Star P-4ESect-6.3Star P-5ESect-6.3Star P-6ESect-6.3Star P-7ESect-6.3Star P-8ESect-6.3Star P-9ESect-6.3Star P-10ESect-6.3Star P-11ESect-6.3Star P-12ESect-6.3Star P-13ESect-6.3Star P-14ESect-6.3Star P-15ESect-6.3Star P-16ESect-6.3Star P-17ESect-6.3Star P-18ESect-6.3Star P-19ESect-6.3Star P-20ESect-6.3Star P-21ESect-6.3Star P-22ESect-6.3Star P-23ESect-6.3Star P-24ESect-6.3Star P-25ESect-6.3Star P-26ESect-6.3Star P-27ESect-6.3Star P-28ESect-6.3Star P-29ESect-6.3Star P-30ESect-6.3Star P-31ESect-6.3Star P-32ESect-6.3Star P-33ESect-6.3Star P-34ESect-6.3Star P-35ESect-6.3Star P-36ESect-6.3Star P-37ESect-6.3Star P-38ESect-6.3Star P-39ESect-6.3Star P-40ESect-6.3Star P-41ESect-6.3Star P-42ESect-6.3Star P-43ESect-6.3Star P-44ESect-6.3Star P-45ESect-6.3Star P-46ESect-6.3Star P-47ESect-6.3Star P-48ESect-6.3Star P-49ESect-6.3Star P-50ESect-6.3Star P-51ESect-6.3Star P-52ESect-6.3Star P-53ESect-6.3Star P-54ESect-6.3Star P-55ESect-6.3Star P-56ESect-6.3Star P-57ESect-6.3Star P-58ESect-6.3Star P-59ESect-6.3Star P-60ESect-6.3Star P-61ESect-6.3Star P-62ESect-6.3Star P-63ESect-6.3Star P-64ESect-6.3Star P-65ESect-6.3Star P-66ESect-6.3Star P-67ESect-6.3Star P-68ESect-6.3Star P-69ESect-6.3Star P-70ESect-6.3Star P-71ESect-6.3Star P-72ESect-6.3Star P-73ESect-6.3Star P-74ESect-6.3Star P-75ESect-6.3Star P-76ESect-6.3Star P-77ESect-6.3Star P-78ESect-6.3Star P-79ESect-6.3Star P-80ESect-6.3Star P-81ESect-6.3Star P-82ESect-6.3Star P-83ESect-6.3Star P-84ESect-6.3Star P-85ESect-6.3Star P-86ESect-6.3Star P-87ESect-6.3Star P-88ESect-6.3Star P-89ESect-6.3Star P-90ESect-6.3Star P-91ESect-6.3Star P-92ESect-6.3Star P-93ESect-6.3Star P-94ESect-6.3Star P-95ESect-6.3Star P-96ESect-6.3Star P-97ESect-6.3Star P-98ESect-6.3Star P-99ESect-6.3Star P-100ESect-6.3Star P-101ESect-6.3Star P-102ESect-6.3Star P-103ESect-6.3Star P-104ESect-6.3Star P-105ESect-6.3Star P-106ESect-6.3Star 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