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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

The half-life of cesium-137 is 30 years. Suppose we have a 100-mg sample.

(a) Find the mass that remains after t years.

(b) How much of the sample remains after 100 years?

(c) After how long will only 1 mg remain?

To determine

To find:

a) The formula for the mass that remaining after t years.

b) The amount of the sample that will remain after 100 years.

c) The time taken for only 1 mg of sample to remain.

Explanation

Given:

i. Cesium-137’s half life=30 years

ii. m0=100mg

Formula used:

(1) Radioactive decay model:dmdt=km       where k is relative decay rate and it is positve.    

(2)  In the above model, the mass of radioactive substance decay exponentially i.em(t)=m0ekt

Calculation:

Consider, the radioactive decay model for the substance cesium-137

m(t)=m0ekt

It is given that m0=100 mg. Therefore, the above model becomes:

m(t)=100ekt                                     (1)

Part (a):

First, we determine the value of k. It is given that the half life of cesium-137 is 30 years. This implies that

m(30)=12m0          =12×100          =50  mg  

Thus, by equation (1), we have

50=m(30)    =100e30kDivide both sides by 100, we get0.5=e30k

Taking log both sides, we get

ln0.5=lne30k        =30kThis implies thatk=130ln0

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