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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

A painting in an art gallery has height h and is hung so that its lower edge is a distance d above the eye of an observer (as in the figure). How far from the wall should the observer stand to get the best view? (In other words, where should the observer stand so as to maximize the angle θ subtended at his eye by the painting?)

images

To determine

To find: The distance the observed should stand from the wall to get the best view.

Explanation

Consider the given figure as follows,

Let θ be the angle of triangle QPR.

Then θ=θ1θ2.

That is, θ be the difference of two angles and θ1 be the angle of triangle QPS and be the angle of triangle RQS.

Consider x is the distance from the viewer and the wall.

From the angle QPS, tanθ1=h+dx.

That is, θ1=tan1(h+dx).

From the angle RQS, tanθ2=(dx).

That is, θ2=tan1(dx).

The angel θ becomes θ=tan1(h+dx)tan1(dx).

Solve the equation dθdx=0, in order to find the value of x which makes the maximum angle,

Differentiate θ with respect to x,

dθdx=ddx(tan1(h+dx)tan1(dx))=ddx(tan1(h+dx))ddx(tan1(dx))=11+(h+dx)2ddx(h+dx)11+(dx)2ddx(dx)=x2x2+<

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