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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

Show that the area of the shaded hyperbolic sector in Figure 7 is A ( t ) = 1 2 t . [Hint: First show that

A ( t ) = 1 2 sinh t cosh t 1 cosh t x 2 1 d x

and then verify that A ( t ) = 1 2 .]

images

FIGURE 7

To determine

To show: The area of the shaded hyperbolic sector in Figure 7 is A(t)=12t.

Explanation

Given:

From the Figure 7, the point P(cosht,sinht) lies on the right branch of the hyperbola x2y2=1.

Proof:

Compute the area of the shaded hyperbolic sector,

The area of the shaded hyperbolic sector = area of the triangle – area of the not shaded area.

A=12coshtsinht1coshtydx

From the equation of the hyperbola x2y2=1.

That is, y=x21.

The required area is computed as follows,

A(t)=12coshtsinht1coshtx21dx

Differentiate A with respect to t,

A(t)=ddt(12coshtsinht)ddt(1coshtx21dx)=12coshtddt(sinht)+12sinhtddt(cosht)ddt(cosht)f(<

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