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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

79-84 Sketch the curve using the guidelines of section 3.5.

y = x ln x

To determine

To Draw:

Graph of the function y=xlnx.

Solution:

The graph is sketched below.

Given:

y=xlnx

Explanation:

Consider, the function

y=xlnx

(1) Domain of the function y:

Domain of lnx is { xx>0 }. Therefore,

Domain of xlnx is { xx>0 }.

Thus, domain of y(x) is { xx>0 }

(2) Intercepts:

There is no y-intercept as x = 0 is not in domain of y.

For x-intercept, put

 0=y(x)=xlnx

But x > 0, therefore

lnx=0This implies that x=e0=1. Thus, x-intercept is (1,0).

(3)

y(x)=xln(x)xlnx xlnx

This implies that y is neither even nor odd function.

(4) Asymptotes:

Since lnx has vertical asymptote at x =0, therefore, the possible vertical asymptote for y can be exist at x =0.  Consider

limx0+y(x)=limx0+xln(x)=limx0+xlnx                   (00 form )=limx0+(x)'(lnx)'                (By l'Hospital' rule)=limx0+1(1/x)=0

 This shows that at x =0, y has no vertical asymptote.

Horizontal asymptotes:

limxy(x)=limxxln(x)=

Thus, y has no horizontal asymptotes..

(5) Increasing or decreasing:

Consider

y=xlnx

Differentiate it with respect to x, we get

y'=ddxxlnx=ddx(x)lnx+xddxlnx                                         (By product rule)=1×lnx+x×1x                               =lnx+1

Put y'(x)=0. This implies that

lnx+1=0So, lnx=1This gives thatx=e1

Consider

Interval Point in the interval Value of y'(x)=lnx+1 Sign of y' Increasing or decreasing
(0,e1) e2 lne2+1=2+1             =1 ve Decreasing
(e1,) e lne+1=1+1          =2 +ve Increasing

This implies that y is decreasing in the interval (0,e1) and increasing in (e1,).

(6) Local maxima or minima:

Consider

y'=lnx+1

Differentiate it with respect to x, we get

y''=ddx(lnx+1)=1x+0                               =1x

At x=e1

y''(e1)=1e1>0                      

Therefore, x=e1 is point of minima.

(7) Inflection point:

Since y''(x)=1x>0 for all domain point, therefore, y has no inflection point.

Thus, by the above information’s graph of y is:

Calculus (MindTap Course List), Chapter 6.R, Problem 81E

Explanation

Given:

y=xlnx

Consider, the function

y=xlnx

(1) Domain of the function y:

Domain of lnx is { xx>0 }. Therefore,

Domain of xlnx is { xx>0 }.

Thus, domain of y(x) is { xx>0 }

(2) Intercepts:

There is no y-intercept as x = 0 is not in domain of y.

For x-intercept, put

 0=y(x)=xlnx

But x > 0, therefore

lnx=0This implies that x=e0=1. Thus, x-intercept is (1,0).

(3)

y(x)=xln(x)xlnx xlnx

This implies that y is neither even nor odd function.

(4) Asymptotes:

Since lnx has vertical asymptote at x =0, therefore, the possible vertical asymptote for y can be exist at x =0.  Consider

limx0+y(x)=limx0+xln(x)=limx0+xlnx                   (00 form )=limx0+(x)'(lnx)'                (By l'Hospital' rule)=limx0+1(1/x)=0

 This shows that at x =0, y has no vertical asymptote.

Horizontal asymptotes:

limxy(x)=limxxln(x)=

Thus, y has no horizontal asymptotes..

(5) Increasing or decreasing:

Consider

y=xlnx

Differentiate it with respect to x, we get

y'=ddxxlnx=ddx(x)lnx+xddxlnx                                         (By product rule)=1×lnx+x×1x                               =lnx+1

Put y'(x)=0

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P-103ESect-6.2 P-104ESect-6.2 P-105ESect-6.2 P-106ESect-6.2 P-107ESect-6.2 P-108ESect-6.2 P-109ESect-6.2 P-110ESect-6.2 P-111ESect-6.3 P-1ESect-6.3 P-2ESect-6.3 P-3ESect-6.3 P-4ESect-6.3 P-5ESect-6.3 P-6ESect-6.3 P-7ESect-6.3 P-8ESect-6.3 P-9ESect-6.3 P-10ESect-6.3 P-11ESect-6.3 P-12ESect-6.3 P-13ESect-6.3 P-14ESect-6.3 P-15ESect-6.3 P-16ESect-6.3 P-17ESect-6.3 P-18ESect-6.3 P-19ESect-6.3 P-20ESect-6.3 P-21ESect-6.3 P-22ESect-6.3 P-23ESect-6.3 P-24ESect-6.3 P-25ESect-6.3 P-26ESect-6.3 P-27ESect-6.3 P-28ESect-6.3 P-29ESect-6.3 P-30ESect-6.3 P-31ESect-6.3 P-32ESect-6.3 P-33ESect-6.3 P-34ESect-6.3 P-35ESect-6.3 P-36ESect-6.3 P-37ESect-6.3 P-38ESect-6.3 P-39ESect-6.3 P-40ESect-6.3 P-41ESect-6.3 P-42ESect-6.3 P-43ESect-6.3 P-44ESect-6.3 P-45ESect-6.3 P-46ESect-6.3 P-47ESect-6.3 P-48ESect-6.3 P-49ESect-6.3 P-50ESect-6.3 P-51ESect-6.3 P-52ESect-6.3 P-53ESect-6.3 P-54ESect-6.3 P-55ESect-6.3 P-56ESect-6.3 P-57ESect-6.3 P-58ESect-6.3 P-59ESect-6.3 P-60ESect-6.3 P-61ESect-6.3 P-62ESect-6.3 P-63ESect-6.3 P-64ESect-6.3 P-65ESect-6.3 P-66ESect-6.3 P-67ESect-6.3 P-68ESect-6.3 P-69ESect-6.3 P-70ESect-6.3 P-71ESect-6.3 P-72ESect-6.3 P-73ESect-6.3 P-74ESect-6.4 P-1ESect-6.4 P-2ESect-6.4 P-3ESect-6.4 P-4ESect-6.4 P-5ESect-6.4 P-6ESect-6.4 P-7ESect-6.4 P-8ESect-6.4 P-9ESect-6.4 P-10ESect-6.4 P-11ESect-6.4 P-12ESect-6.4 P-13ESect-6.4 P-14ESect-6.4 P-15ESect-6.4 P-16ESect-6.4 P-17ESect-6.4 P-18ESect-6.4 P-19ESect-6.4 P-20ESect-6.4 P-21ESect-6.4 P-22ESect-6.4 P-23ESect-6.4 P-24ESect-6.4 P-25ESect-6.4 P-26ESect-6.4 P-27ESect-6.4 P-28ESect-6.4 P-29ESect-6.4 P-30ESect-6.4 P-31ESect-6.4 P-32ESect-6.4 P-33ESect-6.4 P-34ESect-6.4 P-35ESect-6.4 P-36ESect-6.4 P-37ESect-6.4 P-38ESect-6.4 P-39ESect-6.4 P-40ESect-6.4 P-41ESect-6.4 P-42ESect-6.4 P-43ESect-6.4 P-44ESect-6.4 P-45ESect-6.4 P-46ESect-6.4 P-47ESect-6.4 P-48ESect-6.4 P-49ESect-6.4 P-50ESect-6.4 P-51ESect-6.4 P-52ESect-6.4 P-53ESect-6.4 P-54ESect-6.4 P-55ESect-6.4 P-56ESect-6.4 P-57ESect-6.4 P-58ESect-6.4 P-59ESect-6.4 P-60ESect-6.4 P-61ESect-6.4 P-62ESect-6.4 P-63ESect-6.4 P-64ESect-6.4 P-65ESect-6.4 P-66ESect-6.4 P-67ESect-6.4 P-68ESect-6.4 P-69ESect-6.4 P-70ESect-6.4 P-71ESect-6.4 P-72ESect-6.4 P-73ESect-6.4 P-74ESect-6.4 P-75ESect-6.4 P-76ESect-6.4 P-77ESect-6.4 P-78ESect-6.4 P-79ESect-6.4 P-80ESect-6.4 P-81ESect-6.4 P-82ESect-6.4 P-83ESect-6.4 P-84ESect-6.4 P-85ESect-6.4 P-86ESect-6.4 P-87ESect-6.4 P-88ESect-6.4 P-89ESect-6.4 P-90ESect-6.4 P-91ESect-6.4 P-92ESect-6.4 P-93ESect-6.4 P-94ESect-6.2Star P-1ESect-6.2Star P-2ESect-6.2Star P-3ESect-6.2Star P-4ESect-6.2Star P-5ESect-6.2Star P-6ESect-6.2Star P-7ESect-6.2Star P-8ESect-6.2Star P-9ESect-6.2Star P-10ESect-6.2Star P-11ESect-6.2Star P-12ESect-6.2Star P-13ESect-6.2Star P-14ESect-6.2Star P-15ESect-6.2Star P-16ESect-6.2Star P-17ESect-6.2Star P-18ESect-6.2Star P-19ESect-6.2Star P-20ESect-6.2Star P-21ESect-6.2Star P-22ESect-6.2Star P-23ESect-6.2Star P-24ESect-6.2Star P-25ESect-6.2Star P-26ESect-6.2Star P-27ESect-6.2Star P-28ESect-6.2Star P-29ESect-6.2Star P-30ESect-6.2Star P-31ESect-6.2Star P-32ESect-6.2Star P-33ESect-6.2Star P-34ESect-6.2Star P-35ESect-6.2Star P-36ESect-6.2Star P-37ESect-6.2Star P-38ESect-6.2Star P-39ESect-6.2Star P-40ESect-6.2Star P-41ESect-6.2Star P-42ESect-6.2Star P-43ESect-6.2Star P-44ESect-6.2Star P-45ESect-6.2Star P-46ESect-6.2Star P-47ESect-6.2Star P-48ESect-6.2Star P-49ESect-6.2Star P-50ESect-6.2Star P-51ESect-6.2Star P-52ESect-6.2Star P-53ESect-6.2Star P-54ESect-6.2Star P-55ESect-6.2Star P-56ESect-6.2Star P-57ESect-6.2Star P-58ESect-6.2Star P-59ESect-6.2Star P-60ESect-6.2Star P-61ESect-6.2Star P-62ESect-6.2Star P-63ESect-6.2Star P-64ESect-6.2Star P-65ESect-6.2Star P-66ESect-6.2Star P-67ESect-6.2Star P-68ESect-6.2Star P-69ESect-6.2Star P-70ESect-6.2Star P-71ESect-6.2Star P-72ESect-6.2Star P-73ESect-6.2Star P-74ESect-6.2Star P-75ESect-6.2Star P-76ESect-6.2Star P-77ESect-6.2Star P-78ESect-6.2Star P-79ESect-6.2Star P-80ESect-6.2Star P-81ESect-6.2Star P-82ESect-6.2Star P-83ESect-6.2Star P-84ESect-6.2Star P-85ESect-6.2Star P-86ESect-6.2Star P-87ESect-6.2Star P-88ESect-6.2Star P-89ESect-6.3Star P-1ESect-6.3Star P-2ESect-6.3Star P-3ESect-6.3Star P-4ESect-6.3Star P-5ESect-6.3Star P-6ESect-6.3Star P-7ESect-6.3Star P-8ESect-6.3Star P-9ESect-6.3Star P-10ESect-6.3Star P-11ESect-6.3Star P-12ESect-6.3Star P-13ESect-6.3Star P-14ESect-6.3Star P-15ESect-6.3Star P-16ESect-6.3Star P-17ESect-6.3Star P-18ESect-6.3Star P-19ESect-6.3Star P-20ESect-6.3Star P-21ESect-6.3Star P-22ESect-6.3Star P-23ESect-6.3Star P-24ESect-6.3Star P-25ESect-6.3Star P-26ESect-6.3Star P-27ESect-6.3Star P-28ESect-6.3Star P-29ESect-6.3Star P-30ESect-6.3Star P-31ESect-6.3Star P-32ESect-6.3Star P-33ESect-6.3Star P-34ESect-6.3Star P-35ESect-6.3Star P-36ESect-6.3Star P-37ESect-6.3Star P-38ESect-6.3Star P-39ESect-6.3Star P-40ESect-6.3Star P-41ESect-6.3Star P-42ESect-6.3Star P-43ESect-6.3Star P-44ESect-6.3Star P-45ESect-6.3Star P-46ESect-6.3Star P-47ESect-6.3Star P-48ESect-6.3Star P-49ESect-6.3Star P-50ESect-6.3Star P-51ESect-6.3Star P-52ESect-6.3Star P-53ESect-6.3Star P-54ESect-6.3Star P-55ESect-6.3Star P-56ESect-6.3Star P-57ESect-6.3Star P-58ESect-6.3Star P-59ESect-6.3Star P-60ESect-6.3Star P-61ESect-6.3Star P-62ESect-6.3Star P-63ESect-6.3Star P-64ESect-6.3Star P-65ESect-6.3Star P-66ESect-6.3Star P-67ESect-6.3Star P-68ESect-6.3Star P-69ESect-6.3Star P-70ESect-6.3Star P-71ESect-6.3Star P-72ESect-6.3Star P-73ESect-6.3Star P-74ESect-6.3Star P-75ESect-6.3Star P-76ESect-6.3Star P-77ESect-6.3Star P-78ESect-6.3Star P-79ESect-6.3Star P-80ESect-6.3Star P-81ESect-6.3Star P-82ESect-6.3Star P-83ESect-6.3Star P-84ESect-6.3Star P-85ESect-6.3Star P-86ESect-6.3Star P-87ESect-6.3Star P-88ESect-6.3Star P-89ESect-6.3Star P-90ESect-6.3Star P-91ESect-6.3Star P-92ESect-6.3Star P-93ESect-6.3Star P-94ESect-6.3Star P-95ESect-6.3Star P-96ESect-6.3Star P-97ESect-6.3Star P-98ESect-6.3Star P-99ESect-6.3Star P-100ESect-6.3Star P-101ESect-6.3Star P-102ESect-6.3Star P-103ESect-6.3Star P-104ESect-6.3Star P-105ESect-6.3Star P-106ESect-6.3Star 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