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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

Use the method of cylindrical shells to find the volume generated by rotation the region bounded by the curves about the given axis.

y = cos ( π x / 2 ) ,    y = 0 ,   0 x 1 ; about the y-axis.

To determine

To evaluate: the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the given axis using the cylindrical shell method.

Explanation

Consider a function y=f(x) between the points x=a and x=b. If the region under the curve y=f(x) between a and b is rotated about the y-axis, a solid shape is obtained. The volume of that solid shape can be calculated by taking the volume of small cylindrical shells making up the solid and then adding them together.

Formula used:

Volume of the solid obtained by rotating the region from a to b under the curve y=f(x) is given by the following integral:

V=ab2πxf(x)dx,           where 0a<b

Given:

The curves,y=cos(πx2)

Bounded by y=0, 0x1

Axis of rotation: about y-axis

Calculation:

Substitute the curve into the volume formula with a and b as 0 and 1 respectively;

V=012πxcos(πx2)dx=2π01xcos(πx2)dx …… (1)

Solve the integral 01xcos(πx2)dx using integration by parts. Make the choice for u and dv such that the resulting integration from the formula above is easier to integrate. Let

u=x      dv=cos(πx2)dx

Then, the differentiation of u and antiderivative of dv will be

du=dx     v=2πsin(πx2)

The formula for integration by parts for definite integral is given by

abf(x)g(x)dx=f(x)g(x)]ababg

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