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Calculus: An Applied Approach (Min...

10th Edition
Ron Larson
ISBN: 9781305860919

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Calculus: An Applied Approach (Min...

10th Edition
Ron Larson
ISBN: 9781305860919
Textbook Problem
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Finding Relative Extrema In Exercises 91-96, find the relative extrema of the trigonometric function in the interval ( 0 , 2 π ) .

Use a graphing utility to confirm your results.

y = sin π x 4

To determine

To calculate: The relative extrema of the trigonometric function y=sinπx4 over the interval (0,2π).

Explanation

Given Information:

The provided trigonometric function is y=sinπx4 over the interval (0,2π).

Formula used:

Derivative of sine function is;

ddx[sinu]=cosududx

General power derivative rule is;

ddxxn=nxn1

Condition for critical points is;

dydx=f(x)=0

If function f(x) is increasing, then f(x)>0 and if function is decreasing, then f(x)<0.

From first derivative Test, if f(x) changes positive to negative, then function f(x) has relative maxima and, if f(x) changes negative to positive then function f(x) has relative minima.

In order words, if function f(x) changes from increasing function to decreasing at any point critical, then function f(x) will have relative maxima at that point, and if function f(x) changes from decreasing function to increasing at any critical point, then function f(x) will have relative minima at that point.

Calculation:

Consider the provided trigonometric function:

y=sinπx4

Differentiate the above function with respect to x using Sine and Power derivative rules as;

dydx=ddx[sinπx4]y(x)=(cosπx4)ddx[πx4]=(cosπx4)(π4)=π4cosπx4

Apply dydx=0 in order to find critical points as;

π4cosπx4=0cosπx4=0

Since, the value of the cosθ is zero at θ=π2 and θ=3π2 over the interval [0,2π].

So,

cosπx4=cosπ2πx4=π2x=2

And,

cosπx4=cos3π2πx4=3π2x=6

Thus, critical points are x=2 and x=6.

Now consider the table as;

Interval0<x<22<x<66<x<2πSign of y(x)y(x)>0y(x)<0y(x)>0yIncreasingDecreasingIncreasing

From above table, y(x) is changing from positive to negative at x=2

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