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Calculus: An Applied Approach (Min...

10th Edition
Ron Larson
ISBN: 9781305860919

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Calculus: An Applied Approach (Min...

10th Edition
Ron Larson
ISBN: 9781305860919
Textbook Problem
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Finding Relative Extrema In Exercises 91-96, find the relative extrema of the trigonometric function in the interval ( 0 , 2 π ) . Use a graphing utility to confirm your results.

f ( x ) = sin x cos x

To determine

To calculate: The relative extrema of the trigonometric function f(x)=sinxcosx over the interval (0,2π).

Explanation

Given Information:

The provided trigonometric function is f(x)=sinxcosx over the interval (0,2π).

Formula used:

Sine derivative Rule:

ddx[sinu]=cosududx

Cosine derivative Rule:

ddx[cosu]=sinududx

Product rule of differentiation:

ddx[a(x)b(x)]=a(x)b'(x)+b(x)a'(x)

The trigonometric reciprocal identity,

tanθ=sinθcosθ

Condition for critical points:

dydx=f(x)=0

If function f(x) is increasing, then f(x)>0 and if function is decreasing, then f(x)<0.

From first derivative Test,

If f(x) changes positive to negative, then function f(x) has relative maxima and, if f(x) changes negative to positive then function f(x) has relative minima.

Calculation:

Consider the provided trigonometric function:

f(x)=sinxcosx

Apply the product rule of differentiation to find the derivative of the above function.

f(x)=cosxddx(sinx)+sinxddx(cosx)

Differentiate the above function with respect to x using Sine, and Cosine derivative rules.

f(x)=cosx(cosx)+sinx(sinx)=cos2xsin2x

Apply f(x)=0 in order to find critical points.

cos2xsin2x=0sin2x=cos2xsin2xcos2x=1(sinxcosx)2=1

Use trigonometric reciprocal identity,

(tanx)2=1tanx=1tanx=±1

Since, the value of the tanθ is 1 at θ=π4, and θ=5π4, and the value of the tanθ is 1 at θ=3π4, and θ=7π4. So,

tanx=1tanx=tanπ4x=π4,

tanx=1tanx=tan5π4x=5π4,

tanx=1tanx=tan3π4x=3π4

And,

tanx=1tanx=tan7π4x=7π4

Thus, critical points are x=π4, x=3π4, x=5π4 and x=7π4.

Now, rewrite the first derivative of the function,

f(x)=cos2xsin2x

At x=π6,

f(π6)=cos2π6sin2π6=(32)2(12)2=0.50=+ve>0

At x=π2,

f(π2)=cos2π2sin2π2=(0)2(1)2=1=ve<0

At x=π,

f(π)=cos2πsin2π=(1)2(0)2=1=+ve>0

At x=3π2,

f(3π2)=cos23π2sin23π2=(0)2(1)2=1=ve<0

At x=11π6,

f(11π6)=cos211π6sin211π6=(0.866)2(0.5)2=0

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