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Calculus: An Applied Approach (Min...

10th Edition
Ron Larson
ISBN: 9781305860919

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Calculus: An Applied Approach (Min...

10th Edition
Ron Larson
ISBN: 9781305860919
Textbook Problem
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Finding Relative Extrema In Exercises 91-96, find the relative extrema of the trigonometric function in the interval ( 0 , 2 π ) . Use a graphing utility to confirm your results.

f ( x ) = sin 2 x + sin x

To determine

To calculate: The relative extrema of the trigonometric function f(x)=sin2x+sinx over the interval (0,2π).

Explanation

Given Information:

The provided trigonometric function is f(x)=sin2x+sinx over the interval (0,2π).

Formula used:

Sine derivative Rule:

ddx[sinu]=cosududx

General power derivative rule:

ddxxn=nxn1

Write trigonometric reciprocal identity.

tanθ=sinθcosθ

Condition for critical points:

dydx=f(x)=0

If function f(x) is increasing, then f(x)>0 and if function is decreasing, then f(x)<0.

From first derivative Test,

If f(x) changes positive to negative, then function f(x) has relative maxima and, if f(x) changes negative to positive then function f(x) has relative minima.

Calculation:

Consider the provided trigonometric function:

f(x)=sin2x+sinx

Differentiate the above function with respect to x using Sine, and Power derivative rules.

f(x)=ddx[sin2x+sinx]=ddx[sin2x]+ddx[sinx]=2sinxddx[sinx]+cosx=2sinxcosx+cosx

Apply f(x)=0 in order to find critical points.

2sinxcosx+cosx=0cosx(2sinx+1)=0

Further solve.

cosx=0

And,

2sinx+1=02sinx=1sinx=12

Since, the value of the cosθ is 0 at θ=π2, and θ=3π2, and the value of the sinθ is 12 at θ=7π6, and θ=11π6. So,

cosx=0cosx=cosπ2x=π2,

cosx=0cosx=cos3π2x=3π2,

sinx=12sinx=sin7π6x=7π6

And,

sinx=12sinx=sin11π6x=11π6

Thus, critical points are x=π2, x=7π6, x=3π2 and x=11π6.

Now, rewrite the first derivative of the function.

f(x)=2sinxcosx+cosx

At x=π3.

f(π3)=2sinπ3cosπ3+cosπ3=2(32)(12)+12=1.366=+ve>0

At x=2π3.

f(2π3)=2sin2π3cos2π3+cos2π3=2(32)(12)+(12)=1.366=ve<0

At x=5π4.

f(5π4)=2sin5π4cos5π4+cos5π4=2(22)(22)+(22)=0.29289=+ve>0

At x=5π3.

f(5π3)=2sin5π3cos5π3+cos5π3=2(32)(12)+(12)=0.29289=ve<0

At x=23π12.

f(23π12)=2sin23π12cos23π12+cos23π12=2(0.2588)(0.9659)+0.9659=0

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