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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

10th Edition
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Textbook Problem

Area In Exercises 83-86, use a graphing utility to graph the region bounded by the graphs of the equations. Then find the area of the region analytically.

y = e x sin π x , y = 0 , x = 1

To determine

To calculate: The area of the region bounded by the equations and also by the graphing utility method.

Explanation

Given: given equations are y=exsinπx,y=0, and x=1

Graph:

Here, we are Using “desmos” calculator to draw the graph of the bounded region.

Firstly, enter the given equations;

y=exsinπx,y=0, and x=1

Calculation:

Since y=0 then, x=0.

To Find the area of the bounded region y=exsinπx,y=0,x=0 and x=1

Now, in order to find the area of the bounded region with equations x=0 and x=1

We have,

A=01ydx

Now, Substitute the value of y=exsinπx

We get,

A=01exsinπxdx

By Apply integration by part method.

Let

Differentiating with respect to x

u=exdu=(ex)dx

And

dv=sinπxdxv=sinπxdx=(cosπxπ)

Now, by applying the formula for integration by part,

i.e.

udv=uvdu×v

Then substitute the value of the function.

We have,

exsinπxdx=ex(cosπxπ)(ex)×(cosπxπ)=ex(cosπxπ)1πexcosπxdx …...…... (1)

Again by appling the integration by part in the excosπxdx

Let

u'=exdu'=exdx

And

dv'=cosπxdxv'=sinπxπ

Now, again by the use the formula for integration by part,

udv=uvdu×v

We have,

excosπxdx=ex(sinπxπ)(ex)×(sinπxπ)dx=ex(sinπxπ)+1πex(sinπx)dx

On Substituting the value of the integration in equation (1)

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