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CalculusCalculus10th Edition

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Chapter 8.3, Problem 80E
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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

10th Edition
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ISBN: 9781285057095
Textbook Problem

Verifying a Reduction Formula In Exercises 79-82, use integration by parts to verify the reduction formula. (A reduction formula reduces a given integral to the sum of a function and a simpler integral.)

∫ cos 2 x   d x = cos n − 1 x sin x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 x   d x

To determine

To prove: The reduction formula given as, ∫cosnxdx=cosn−1xsinxn+n−1n∫cosn−2xdx using integration by parts.

Explanation

Given:

The provided expression is:

∫cosnxdx=cosn−1xsinxn+n−1n∫cosn−2xdx

Formula used:

Integration by parts:

∫uvdx=u∫vdx−∫(d(u)dx∫vdx)dx

Proof:

Consider the integral given as,

∫cosnxdx

Rewrite the given integral as,

∫cosnxdx=∫cosn−1xcosxdx

Apply the integral formula,

∫uvdx=u∫vdx−∫(d(u)dx∫vdx)dx

Here, u=cosn−1x , v=cosx

Hence,

∫cosnxdx=cosn−1x∫(cosx)dx−∫(d(cosn−1x)dx∫cosxdx)dx

Therefore,

∫cosnxdx=cosn−1x(sinx

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Sect-8.1 P-11ESect-8.1 P-12ESect-8.1 P-13ESect-8.1 P-14ESect-8.1 P-15ESect-8.1 P-16ESect-8.1 P-17ESect-8.1 P-18ESect-8.1 P-19ESect-8.1 P-20ESect-8.1 P-21ESect-8.1 P-22ESect-8.1 P-23ESect-8.1 P-24ESect-8.1 P-25ESect-8.1 P-26ESect-8.1 P-27ESect-8.1 P-28ESect-8.1 P-29ESect-8.1 P-30ESect-8.1 P-31ESect-8.1 P-32ESect-8.1 P-33ESect-8.1 P-34ESect-8.1 P-35ESect-8.1 P-36ESect-8.1 P-37ESect-8.1 P-38ESect-8.1 P-39ESect-8.1 P-40ESect-8.1 P-41ESect-8.1 P-42ESect-8.1 P-43ESect-8.1 P-44ESect-8.1 P-45ESect-8.1 P-46ESect-8.1 P-47ESect-8.1 P-48ESect-8.1 P-49ESect-8.1 P-50ESect-8.1 P-51ESect-8.1 P-52ESect-8.1 P-53ESect-8.1 P-54ESect-8.1 P-55ESect-8.1 P-56ESect-8.1 P-57ESect-8.1 P-58ESect-8.1 P-59ESect-8.1 P-60ESect-8.1 P-61ESect-8.1 P-62ESect-8.1 P-63ESect-8.1 P-64ESect-8.1 P-65ESect-8.1 P-66ESect-8.1 P-67ESect-8.1 P-68ESect-8.1 P-69ESect-8.1 P-70ESect-8.1 P-71ESect-8.1 P-72ESect-8.1 P-73ESect-8.1 P-74ESect-8.1 P-75ESect-8.1 P-76ESect-8.1 P-77ESect-8.1 P-78ESect-8.1 P-79ESect-8.1 P-80ESect-8.1 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