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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Textbook Problem

Verifying a Reduction Formula In Exercises 79-82, use integration by parts to verify the reduction formula. (A reduction formula reduces a given integral to the sum of a function and a simpler integral.)

cos 2 x d x = cos n 1 x sin x n + n 1 n cos n 2 x d x

To determine

To prove: The reduction formula given as, cosnxdx=cosn1xsinxn+n1ncosn2xdx using integration by parts.

Explanation

Given:

The provided expression is:

cosnxdx=cosn1xsinxn+n1ncosn2xdx

Formula used:

Integration by parts:

uvdx=uvdx(d(u)dxvdx)dx

Proof:

Consider the integral given as,

cosnxdx

Rewrite the given integral as,

cosnxdx=cosn1xcosxdx

Apply the integral formula,

uvdx=uvdx(d(u)dxvdx)dx

Here, u=cosn1x , v=cosx

Hence,

cosnxdx=cosn1x(cosx)dx(d(cosn1x)dxcosxdx)dx

Therefore,

cosnxdx=cosn1x(sinx

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