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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

10th Edition
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Textbook Problem

Modeling Data The table shows the normal maximum (high) and minimum (low) temperatures (in degrees Fahrenheit) in Eric, Pennsylvania, for each month of the year. (Source: NOAA)

Month Jan Feb Mar Apr May Jun
Max 33.5 35.4 44.7 55.6 67.4 76.2
Min 20.3 20.9 28.2 37.9 48.7 58.5
Month Jul Aug Sep Oct Nov Dec
Max 80.4 79.0 72.0 61.0 49.3 38.6
Min 63.7 62.7 55.9 45.5 36.4 26.8

The maximum and minimum temperatures can be modeled by

f ( t ) = a 0 + a 1 cos π t 6 + b 1 sin π t 6

where t = 0 corresponds to January 1 and ao, a1, and b1 are as follows.

a 0 = 1 12 0 12 f ( t ) d t a 1 = 1 6 0 12 f ( t ) cos π t 6 d t b 1 = 1 6 0 12 f ( t ) sin π t 6 d t

(a) Approximate the model H(t) for the maximum temperatures. (Hint: Use Simpson’s Rule to approximate the integrals and use the January data twice.)

(b) Repeat part (a) for a model L(t) for the minimum temperature data.

(c) Use a graphing utility to graph each model. During what part of the year is the difference between the maximum and minimum temperatures greatest?

(a)

To determine

The model H(t) for the maximum temperatures.

Explanation

Given:

Refer the table that shows the normal maximum (high) and minimum (low) temperatures (in degrees Fahrenheit) from the book.

The maximum and minimum temperature can be modeled by,

f(t)=a0+a1cos(πt6)+b1sin(πt6)

Here, t=0 corresponds to January 1 and a0, a1, and b1 are as follows,

a0=112012f(t)dt,

a1=16012f(t)cosπt6dt,

And,

b1=16012f(t)sinπt6dt

According to Simpson’s rule,

abf(x)dx=Δx3(y0+4y1+2y2+4y3++4yn1+yn)

Here,

Δx=ban and n must be even.

Thus,

a0=112012f(t)dt=1121203(12)[33.5+4(35.4)+2(44.7)+4(55.6)+2(67.4)+4(76.2)+2(80.4)+4(79.0)+2(72.0)+4(61.0)+2(49.3)+4(38.6)+33.5]=136[33.5+141.6+89.4+222.4+134.8+304.8+160.8+316+144+244+98.6+154.4+33.5]=136[2077.8]

It implies that,

a057.72

Also,

a1=16012f(t)cosπt6dt=16(120)3(12)[33

(b)

To determine

The model L(t) for the maximum temperatures.

(c)

To determine

To graph: The model for maximum temperature, H(t)=57.7223.36cos(πt6)2.75sin(πt6), and minimum temperature, L(t)=42.120.91cos(πt6)4.3sin(πt6) using graphing utility. Also determine the during which part of the year the difference between minimum and maximum temperature is greatest.

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