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Discrete Mathematics With Applicat...

5th Edition
EPP + 1 other
ISBN: 9781337694193

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Discrete Mathematics With Applicat...

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Textbook Problem
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In 19-24, use the RSA cipher from Examples 8.4.9 and 8.4.10. In 19-21, teranslate the message into its numeric equivalent and encrypt it. In 22-24, decrypt the ciphertext and translate the result in to letters of the alphabet to discover the message.

08 05 15

To determine

Decrypt the cipher text and write the numeric into letters.

Explanation

Given information:

The given cipher text is “08 05 15”.

Formula used:

Division algorithm:

Let a be an integer and d be a positive integer. Then, there are unique integers qandr with 0r<d such that a=dq+r, here, q is the quotient and r is the remainder.

So, q=adivd and r=amodd.

Know that the technique is xm(mody)=[x(mody)]m(mody).

RSA Cipher Work:

The formula of the RSA cryptography is M=Cdmodpq.

To decrypt the numbers, use the formula M=Cdmodpq . …… (1)

Where, d=27 and pq=55.

To decrypt 08, use the formula (1).

M=0827mod55

Its known that, 27 as a sum of powers of 2.

27=24+23+21+20=16+8+2+1

Rewrite the statement as:

M=08( 16+8+2+1)mod55=( 08 16 088 082 081)mod55=( 08 16mod55 088mod55 082mod55 081mod55)mod55=( 08 16mod55 ( 08 4 )2mod5564mod558)mod55=( 08 16mod55 ( 08 4 mod55 )2mod5598)mod55

Simplify the above equation.

( 08 16mod55 ( 08 4 mod55 )2mod5598)mod55=( 08 16mod55 ( ( 08 2 ) 2 mod55 )2mod5598)mod55=( 08 16mod55 ( ( 08 2 mod55 ) 2 mod55 )2mod5598)mod55=( 08 16mod55 ( 9 2 mod55 )2mod5598)mod55=( ( 08 8 )2mod55 262mod5598)mod55

Again, simplify the above equation.

( ( 08 8 )2mod55 262mod5598)mod55=( 162mod551698)mod55=(256mod551698)mod55=(361698)mod55=41472mod55=2

Thus, 0827mod55=2.

To decrypt 05, use the formula (1).

M=0527mod55

Its known that, 27 as a sum of powers of 2.

27=24+23+21+20=16+8+2+1

Rewrite the statement as:

M=05( 16+8+2+1)mod55=( 05 16 058 052 051)mod55=( 05 16mod55 058mod55 052mod55 051mod55)mod55=( 05 16mod55 ( 05 4 )2mod5525mod555)mod55=( 05 16mod55 ( 05 4 mod55 )2mod55255)mod55

Simplify the above equation

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