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Discrete Mathematics With Applicat...

5th Edition
EPP + 1 other
ISBN: 9781337694193

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Discrete Mathematics With Applicat...

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Textbook Problem
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In 19-24, use the RSA cipher from Examples 8.4.9 and 8.4.10. In 19-21, teranslate the message into its numeric equivalent and encrypt it. In 22-24, decrypt the ciphertext and translate the result in to letters of the alphabet to discover the message.

51 14 49 15

To determine

Decrypt the cipher text and write the numeric into letters.

Explanation

Given information:

The given cipher text is “51 14 49 15”.

Formula used:

Division algorithm:

Let a be an integer and d be a positive integer. Then, there are unique integers qandr with 0r<d such that a=dq+r, here, q is the quotient and r is the remainder.

So, q=adivd and r=amodd.

Know that the technique is xm(mody)=[x(mody)]m(mody).

RSA Cipher Work:

The formula of the RSA cryptography is M=Cdmodpq.

To decrypt the numbers, use the formula M=Cdmodpq . …… (1)

Where, d=27 and pq=55.

To decrypt 51, use the formula (1).

M=5127mod55

Its known that, 27 as a sum of powers of 2.

27=24+23+21+20=16+8+2+1

Rewrite the statement as:

M=51( 16+8+2+1)mod55=( 51 16 518 512 511)mod55=( 51 16mod55 518mod55 512mod55 511mod55)mod55=( 51 16mod55 ( 51 4 )2mod552601mod5551)mod55=( 51 16mod55 ( 51 4 mod55 )2mod551651)mod55

Simplify the above equation.

( 51 16mod55 ( 51 4 mod55 )2mod551651)mod55=( 51 16mod55 ( ( 51 2 ) 2 mod55 )2mod551651)mod55=( 51 16mod55 ( ( 51 2 mod55 ) 2 mod55 )2mod551651)mod55=( 51 16mod55 ( 16 2 mod55 )2mod551651)mod55=( ( 51 8 )2mod55 362mod551651)mod55

Again, simplify the above equation.

( ( 51 8 )2mod55 362mod551651)mod55=( 312mod55311651)mod55=(961mod55311651)mod55=(26311651)mod55=657696mod55=6

Thus, 5127mod55=6.

To decrypt 14, use the formula (1).

M=1427mod55

Its known that, 27 as a sum of powers of 2.

27=24+23+21+20=16+8+2+1

Rewrite the statement as:

M=14( 16+8+2+1)mod55=( 14 16 148 142 141)mod55=( 14 16mod55 148mod55 142mod55 141mod55)mod55=( 14 16mod55 ( 14 4 )2mod55196mod5514)mod55=( 14 16mod55 ( 14 4 mod55 )2mod553114)mod55

Simplify the above equation.

( 14 16mod55 ( 14 4 mod55 )2mod553114)mod55=( 14 16mod55 ( ( 14 2 ) 2 mod55 )2mod553114)mod55=( 14 16mod55 ( ( 14 2 mod55 ) 2 mod55 )2mod553114)mod55=( 14 16mod55 ( 31 2 mod55 )2mod553114)mod55=( ( 14 8 )2mod55 262mod553114)mod55

Again, simplify the above equation.

( ( 14 8 )2mod55 262mod553114)mod55=( 162mod55163114)mod55=(256mod55163114)mod55=(36163114)mod55=249984mod55=9

Thus, 1427mod55=9

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