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Discrete Mathematics With Applicat...

5th Edition
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ISBN: 9781337694193

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Discrete Mathematics With Applicat...

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Textbook Problem
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Prove Theorem 8.5.1

To determine

To prove:

_ is a partial order relation.

Explanation

Given information:

Let A be a set with a partial order relation R and let S be a set of strings over A.

Concept used:

A relation _ on S is defined as follows:

For any two strings in S,a1a2a3...am and b1b2b3....bn where m and n are positive integers.

  1. If mn and ai=bi for all i=1,2,3,.....,m then a1a2a3,....am_ b1b2....bn.
  2. If for some integer k with km,kn and k1,ai=bi for all i=1,2,3,....,k1 and akbkbutakRbk then a1a2,......,am_ b1b2,....,bn
  3. If ε is the null string and s is any string in S, then ε _ s.

Proof:

To prove _ is reflexive:

Let s be any string in S.

If s=ε, then s _ s by (3).

Suppose sε. Let s=a1a2a3,......,am.

Then mm and ai=ai for all i=1,2,3,....,m.

Therefore, by (1)

s=a1a2a3....am _ a1a2a3.........am=ss _ s

Hence, _ is reflexive.

To prove _ is antisymmetric:

Let s=a1a2a3......amS and t=b1b2b3......bmS such that s _ t and t _  s.

Suppose i be the least positive integer such that aibi.

Since s _ t and t _  s therefore, aiRbi & biRai

Since R is partial order relation on A, therefore aiRbi & biRai implies that ai=bi

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