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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Textbook Problem

Tractrix A person moves from the origin along the positive y-axis pulling a weight at the end of a 12-meter rope (see figure). Initially, the weight is located at the point (12, 0).

Chapter 8.7, Problem 90E, Tractrix A person moves from the origin along the positive y-axis pulling a weight at the end of a

(a) Show that the slope of the tangent line of the path of the weight is d y d x = 144 x 2 x .

(b) Use the result of part (a) to find the equation of the path of the weight. Use a graphing utility to graph the path and compare it with the figure.

(c) Find any vertical asymptotes of the graph in part (b).

(d) When the person has reached the point (0, 12), how far has the weight moved?

(a)

To determine

To prove: The tangent line of the path of the weight is dydx=144x2x; where a person moves from the origin pulling a weight at the end of a 12-meter rope and the weight is initially located at the point (12,0).

Explanation

Given:

A person moves from the origin along the positive y-axis pulling a weight at the end of a 12-meter rope and the weight is initially located at the point (12,0).

Formula used:

The slope m=dydx of the line passing through the points (x1,y1) and (x2,y2) is given by:

dydx=y2y1x2x1.

Proof:

Draw the provided diagram as below:

Apply the Pythagoras theorem in the ΔABC:

AB2+AC2=BC2x2+AC2=122

(b)

To determine

To calculate: The equation of the path of the weight and to graph the equation of path of the weight by use of graphing utility by the use of the tangent line of the path of the weight, that is dydx=144x2x.

(c)

To determine

To calculate: The vertical asymptotes of the function y=12ln(12144x2x)144x2.

(d)

To determine

To calculate: The distance the weight has moved when the person has reached the point (0,12) when the person moves from the origin pulling a weight at the end of a 12-meter rope and the weight is initially located at the point (12,0).

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