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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

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Textbook Problem

Area Find the limit, as x approaches 0, of the ratio of the area of the triangle to the total shaded area in the figure.

Chapter 8.7, Problem 99E, Area Find the limit, as x approaches 0, of the ratio of the area of the triangle to the total shaded

To determine

Find the limits of the ratio of the area of the triangle to the total shaded area as x approaches to 0

Explanation

Given:

The figure,

Formula used:

L’Hospital’s rule,

Let p and q be the function that are differentiable in open interval (c,d) containing a, except possibility at a itself. Assume that q(x)0 for all x in (c,d), except possibly at a itself. If the limit of p(x)q(x) as a x approaches a produces the indeterminate form 00,, or then,

limxap(x)q(x)=limxap(x)q(x)

Calculation:

The height of the triangle is 1cosx therefore the area of the triangle is,

T=12(2x)(1cosx)=xxcosx

Use the symmetry of the figure the area of the shaded region is,

S=2{ area of rectanglearea under the curve }=2{ x(1cosx)0x(1cosx)dx }=2{ x(1cosx)(xsinx)|0x }=2{ xxcosxx+sinx }

=2(sinxxcosx)

Consider the ratio of area of the triangle to the total shaded area

TS=xxcosx2(sinx

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