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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

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Textbook Problem

The Gamma Function The Gamma Function Γ ( n ) is defined by

Γ ( n ) = 0 x n 1 e x d x ,   n   <   0.

(a) Find Γ ( 1 ) , Γ ( 2 ) , and Γ ( 3 ) .

(b) Use integration by parts to show that Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) .

(c) Write Γ ( n ) using factorial notation where n is a positive integer.

(a)

To determine

To calculate: The value of Γ(1),Γ(2)&Γ(3).

Explanation

Given:

The gamma function Γ(n) is defined by:

Γ(n)=0xn1exdx

Formula used:

To check for convergence, the following limit must exist.

abf(x)dx=limbabf(x)dx

Calculation:

The values of the functions are found by the required value of n in the formula. So

Γ(1)=0x11exdx=0exdx=limb[ex]0b=limb[eb+1]

On further simplification,

Γ(1)=1

According to the by parts formula: I=uvvu.

Γ(2)=0x21exdx=0xexdx

=limb[xex0b(ex)]<

(b)

To determine

To prove: Γ(n+1)=nΓ(n) by integration by parts.

(c)

To determine

To calculate: Γ(n) by factorial notation.

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