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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

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Textbook Problem

Surface Area The region bounded by (x –2)2 + y2 = 1 is revolved about the y-axis to form a torus. Find the surface area of the torus.

To determine

To calculate: The surface area of the Torus formed by revolving a region bounded by (x2)2+y2=1 about the y-axis.

Explanation

Given:

The region bounded by (x2)2+y2=1 is revolved about the y-axis and a torus is formed.

Formula used:

Formula for differentiation is:

dxndx=nxn1

Formula for integration is:

xndx=xn+1n+1+C

Where, x is a variable and n is a constant value.

Calculation:

Consider the region (x2)2+y2=1.

Draw the graph of torus formed by revolving the region bounded by (x2)2+y2=1 about y-axis with the help of maple:

Since (x2)2+y2=1,

y2=1(x2)2y=±1(x2)2

Let r(x)=x and f(x)=1(x2)2.

Since f(x)=1(x2)2.

Since, dxndx=nxn1. Differentiate both sides with respect to x,

f(x)=121(x2)2ddx(1(x2)2)=121(x2)22(x2)=(x2)1(x2)2

For the surface area of the torus. Find (f(x))2.

(f(x))2=((x2)1(x2)2)2=(x2)21(x2)2

Recall, xndx=xn+1n+1+C. Since the torus is symmetrical. Calculate the area of upper half over the interval (1,3) and multiply by 2

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