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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
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Textbook Problem

Writing

(a) The improper integrals

1 1 x d x and 1 1 x 2 d x

diverge and converge, respectively. Describe the essential difference between the integrands that cause one integral to converge and the other to diverge.

(b) Use a graphing utility to graph the function y = ( sin x ) / x over the interval ( 1 , ) . Use your knowledge of the definite integral to make an inference as to whether the integral

1 sin x x d x

converges. Give reasons for your answer.

(c) Use one application of integration by parts and the result of Exercise 89 to determine the divergence or convergence of the integral in part (b).

Laplace Transforms Let f ( t ) be a function defined for all positive values of t. The Laplace Transform of f ( t ) is defined by

F ( s ) = 0 e s t f ( t ) d t

(a)

To determine
The explanation of the difference between the integrands 11xdx and 11x2dx which cause one integral to converge and other to diverge.

If the integrands 11xdx and 11x2dx causes an integral to converge and the other to diverge. Explain the differences between the two integrands.

Explanation

Given:

The integrand 11x2dx in convergent. And the integrand 11xdx is divergent

The following limit must exist to check for convergence;

af(x)dx=limbabf(x)dx

The integrand 11xdx on solving gives,

11xdx=lima1a1xdx=lima[lnx]1a=lima(lnaln1)=

The integrand 11x2dx on solving gives:

11x2dx=lima1a1x2dx=lima[1x]1a=lima(1a+1)=1

It is found that,

<

(b)

To determine

To graph: The function y=(sinx)x is convergent or not overaninterval (1,).

(c)

To determine

To calculate: The Convergence of integrand 1sinxxdx using by parts.

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