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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

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Textbook Problem

Finding the Interval of Convergence In Exercises 75–80, find the interval of convergence of the power series. (Be sure to include a check for convergence at the endpoints of the interval.)

n = 0 3 n ( x 2 ) n n

To determine

To calculate: The interval of convergence of the power series n=1(x2)n2n.

Explanation

Given:

The provided series is:

n=1(x2)n2n

Formula used:

Let an be a series with nonzero terms, so according to the ratio test:

The series an converges absolutely when limn|an+1an|<1.

The series an diverges when limn|an+1an|>1 or limn|an+1an|=.

The Ratio test is inconclusive when limn|an+1an|=1.

Calculation:

Consider the series:

n=1(x2)n2n

The nth term of this series will be:

an=(x2)n2n …… (1)

Thus,

an+1=(x2)n+12n+1 …… (2)

Now, by the ratio test:

The series an converges absolutely when limn|an+1an|<1.

The series an diverges when limn|an+1an|>1 or limn|an+1an|=.

The Ratio test is inconclusive when limn|an+1an|=1

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