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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337275361

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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337275361
Textbook Problem

Squeeze Theorem

(a) Show that 1 n ln x d x < ln ( n ! ) for n 2 .

images

(b) Draw a graph similar to the one above that shows ln ( n ! ) < 1 n + 1 ln x d x .

(c) Use the results of parts (a) and (b) to show that

n n e n 1 < n ! < ( n + 1 ) n + 1 e n , for n > 1

(d) Use the Squeeze Theorem for Sequences and the result of part (c) to show that lim n ( n ! n / n ) = 1 / e .

(e) Test the result of part (d) for n = 20 , 50 , and 100.

(a)

To determine

To Prove: The expression 1nlnxdx<ln(n!) for n2.

Explanation

Given:

The following figure,

Formula Used:

The area of the region bounded by a curve is 1nlnxdx.

Proof:

Here, the rectangle has width (21) and length ln2.

So, the area of first rectangle is ln2.

The second rectangle has (32) as width and length ln3.

So, the area of second rectangle is ln3.

The third rectangle has (43) as width and length ln4.

So, the area of third rectangle is ln4

(b)

To determine

To Graph: A graph Similar of the provided graph for ln(n!)<1n+1lnxdx

(c)

To determine

To Prove: Use the part (a) and (b), to prove that nnen1<n!<(n+1)n+1en for n>1

(d)

To determine

To Prove: The expression limn(nn/n!)=1/e with the help of squeeze theorem and the result of part (c).

(e)

To determine

Whether the result obtained in the part (d) limn(n!)1/nn, is correct for n=20,50 and 100

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