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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337275361

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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
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Textbook Problem

Proof In Exercises 17—20, prove that the Maclaurin series for the function converges to the function for all x.

f ( x ) = cosh x

To determine

To prove: The Maclaurin series for the function,  f(x)=coshx converges to the function for all x.

Explanation

Given:

The function is

 f(x)=coshx

Formula used:

The remainder for the Maclaurin series is given by,

Rnf(n+1)(z)(n+1)!xn+1

Proof:

Consider the function,

 f(x)=coshx

For the Maclaurin series for the function,  f(x)=coshx to converge to the function for all x, the Maclaurin series converges to zero as n→∞.

The Taylor series expansion for the functions ex and ex are

ex=1+x+x22!+x33!+x44!+x55!+x66!+...+xnn!+...ex=1x+x22!x33!+x44!x55!+x66!+...+(1)nxnn!+...

The function coshx is

coshx=ex+ex2

Now put the power series expansion of ex and ex in expansion of sinhx. Then the power series expansion of sinhx is,

sinhx=(1+x+x22!+x33!+x44!+..........+xnn!+.......)+(1x+x22!x33!+x44!+..........+(1)nxnn!+

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