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Calculus: Early Transcendental Fun...

6th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285774770

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Calculus: Early Transcendental Fun...

6th Edition
Ron Larson + 1 other
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To determine

To prove: Maclaurin series for the function g(x)=x1xx2 is n=1Fnxn

Explanation

Given:

Maclaurin series for the function g(x)=x1xx2 is n=1Fnxn. Fn is the nth Fibonacci number with F1=F2=1 and Fn=Fn2+Fn1 for n3

Proof:

Consider the following function is

g(x)=x1xx2 …...…... (1)

The objective is to show that Maclaurin series for g(x) is n=1Fnxn.

Here, Fn is the n th Fibonacci number with F1=F2=1 and Fn=Fn2+Fn1 for n3.

Consider the following function,

x1xx2=a0+a1x+a2x2+a3x3+...

Multiply each side of the equation by 1xx2 then proceed as follows:

x=a0(1xx2)+a1x(1xx2)+a2x2(1xx2)+a3x3(1xx2)+=a0+(a1a0)x+(a2a1a0)x2+(a3a2a1)x2+

Equate co-efficient on both sides and obtain the following results:

a0=0

It is found that:

a1a0=1

Which implies a1=1

Explanation

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