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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Textbook Problem

Using the Integral Test In Exercises 1–22, confirm that the Integral Test can be applied to the series. Then use the Integral Test to determine the convergence or divergence of the series.

1 1 ( 1 + 1 ) + 1 2 ( 2 + 1 ) + 1 3 ( 3 + 1 ) + + 1 n ( n + 1 ) +

To determine

Whether the Integral test can be applied to the series 11(1+1)+12(2+1)+13(3+1)++1n(n+1)+ and then use the Integral test to determine the convergence or divergence of the series.

Explanation

Given:

The provided series is:

11(1+1)+12(2+1)+13(3+1)++1n(n+1)+

According to the integral test if f is positive, continuous and decreasing for x1 and an=f(n), then n=1an and 1f(x)dx either both converge or both diverge.

Consider the series:

11(1+1)+12(2+1)+13(3+1)++1n(n+1)+

The above series can be written as;

x=11x(x+1)

Let f(x)=1x(x+1)

It can clearly be seen that the function f(x) is positive and continuous for x1

Now, to check whether f is decreasing or not, the derivative of f must be found. If the derivative of f is negative then it can be said to be a decreasing function.

Therefore, differentiate f(x) with respect to x as;

f'(x)=ddx(1x(x+1))=ddx(x+x)1=112x(x+x)2=(1+12x)(x+x)2

So, f'(x) is negative.

Since, all the three conditions are satisfied, the Integral Test can be applied to the provided series

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