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Discrete Mathematics With Applicat...

5th Edition
EPP + 1 other
ISBN: 9781337694193

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Discrete Mathematics With Applicat...

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Textbook Problem
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Use mathematical induction to prove the general inclusion/exclusion rule:
If A 1 , A 2 , ... , A n are finite sets, then
N ( A 1 A 2 ... A n ) = 1 f n N ( A i ) 1 i j n N ( A i A j ) + 1 i j k n N ( A i A j A k ) + ( 1 ) n + 1 N ( A 1 A 2 A n ) .
(The notation 1 i j n N ( A i A j ) means that quantities of the form N ( A i A j ) are to be added together for all integers i and j with 1 i j n . )

To determine

To prove the general inclusion/exclusion rule using the mathematical induction.

Explanation

Given information:

If A1,A2,......An are finite sets then

N(A1A2......An)=1inN(Ai)1i<jnN(AiAj)+ 1i<j<knN( A i A j A k)......+(1)nN(A1A1.......An)

The notation 1i<jnN(AiAj) quantities are to be added together for all integers i and j.

Calculation:

If A1,A2,......An are finite sets then

N(A1A2......An)=1inN(Ai)1i<jnN(AiAj)+ 1i<j<knN( A i A j A k)......+(1)n1N(A1A1.......An).

Now basic step for n=2

If A1,A2,......An are finite sets then

N(A1A2)=1i2N(Ai)1i<j2N(AiAj)=N(A1)+N(A2)N(A1A2){for n=2}

Therefore the result is true for n=2.

Induction step for n=m, m

If A1,A2,......Am are finite sets then

N(A1A2......Am)=1imN(Ai)1i<jmN(AiAj)+ 1i<j<kmN( A i A j A k)......+(1)m1N(A1A1.......Am)=1imN(Ai)1i<jmN(AiAj)+ 1i<j<kmN( A i A j A k)......+(1)m1N(mi=1Ai).......(1)

Therefore the result is true for n=m, now prove it for n=m+1, consider N(m+1i=1Ai).

Let N(mi=1Ai)=B. Then

m+1i=1Ai=( m i=1Ai)Am+1=BAm+1

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