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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Textbook Problem

Review In Exercises 71–82, determine the convergence or divergence of the series.

n = 2 In n n 3

To determine

Whether the series n=2lnnn3 is convergent or divergent.

Explanation

According to the integral test, if f is positive, continuous and decreasing for x1 and an=f(n), then n=1an and 1f(x)dx either both converge or both diverge.

Consider the series:

n=2lnnn3

The above series can be written as;

x=2lnxx3

Let f(x)=lnxx3

It can clearly be seen that the function f(x) is positive and continuous for x1.

Now, to check whether f is decreasing or not, the derivative of f must be found. If the derivative of f is negative then it can be said to be a decreasing function.

Therefore, differentiate f(x) with respect to x as;

f'(x)=ddx(lnxx3)=1x(x3)3x2lnxx6=13lnxx4

So, f'(x) is negative for x2.

Since, all the three conditions are satisfied, the Integral Test can be applied to the provided series.

Now, apply Integral Test to the function f(x) to get:

2lnxx3dx=lima2ax3lnxdx …… (1)

Let, u=lnx and v=12x2.

Differentiate u and v with respect to x to get:

du=dxx

And,

dv=x3dx

Substitute u for lnx and dv for x3dx in x3lnxdx to get:

u.dv=uvvdu

Now, substitute lnx for u, 12x2 for v and dxx for du in the above equation to get:

x3lnxdx=lnx2x2+12dxx3=lnx2x214x2+C=2lnx+14x2+C

Use the above expression in equation (1) to get:

2lnx

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