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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

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Textbook Problem

Graphical and Numerical Analysis In Exercises 13 and 14, use a graphing utility to graph f and its second-degree polynomial approximation P 2 at x = c . Complete the table comparing the values of f and P 2 .

f ( x ) = sec x , c = π 4 P 2 ( x ) = x + 2 ( x π 4 ) + 3 2 2 ( x π 4 ) 2

x

-2.15

0.585

0.685

π 4

0.885

0.985

1.785

f(x)

P 2 ( x )

To determine

To calculate: The values of the function, f(x)=secx and the polynomial, P2(x)=2+2(xπ4)+322(xπ4)2 for the table given below and graph the polynomial as well the function.

x 2.15 0.585 0.685 π4 0.885 0.985 1.785
f(x) 1.8270 1.1995 1.2913 1.4142 1.5791 1.8088 4.7043
P2(x)
Explanation

Given:

The function, f(x)=secx and the polynomial, P2(x)=2+2(xπ4)+322(xπ4)2.

Formula used:

The definition of Taylor series for a nth degree polynomial is that if f has n derivatives at c, then the polynomial given below is known as the nth Taylor series for f at c.

Pn(x)=f(c)+f(c)(xc)+f(c)2(xc)2++f(n)(c)n(xc)n

The derivative of secx is:

ddx(secx)=secxtanx

The product rule of differentiation states that,

ddx(uv)=vdudx+udvdx

Calculation:

Consider the function,

f(x)=secx

Differentiate both sides of the above equation with respect to x,

f(x)=ddx(secx)

Recall the formula, ddx(secx)=secxtanx,

f(x)=secxtanx

Substitute π4 for x in the derivative,

f(π4)=secxtanx=secπ4tanπ4=2

Substitute π4 for x in the function f(x)=secx,

f(π4)=secπ4=2

Differentiate both sides of the function, f(x)=secxtanx, with respect to x.

f(x)=ddx(secxtanx)

Recall the product rule, ddx(uv)=vdudx+udvdx, and evaluate the derivative,

f(x)=tanxddx(secx)+secxddx(tanx)=tanx(secxtanx)+secx(sec2x)=secxtan2x+sec3x=secx(sec2x+tan2x)

Substitute π4 for x in the derivative,

f(π4)=secπ4(sec2π4+tan2π4)=2(2+1)=22

The definition of Taylor series for a nth degree polynomial is that if f has n derivatives at c, then the polynomial given below is known as the nth Taylor series for f at c.

Pn(x)=f(c)+f(c)(xc)+f(c)2(xc)2++f(n)(c)n(xc)n

Substitute the value for the function, which is f(x)=secx

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P-81ESect-9.1 P-82ESect-9.1 P-83ESect-9.1 P-84ESect-9.1 P-85ESect-9.1 P-86ESect-9.1 P-87ESect-9.1 P-88ESect-9.1 P-89ESect-9.1 P-90ESect-9.1 P-91ESect-9.1 P-92ESect-9.1 P-93ESect-9.2 P-1ESect-9.2 P-2ESect-9.2 P-3ESect-9.2 P-4ESect-9.2 P-5ESect-9.2 P-6ESect-9.2 P-7ESect-9.2 P-8ESect-9.2 P-9ESect-9.2 P-10ESect-9.2 P-11ESect-9.2 P-12ESect-9.2 P-13ESect-9.2 P-14ESect-9.2 P-15ESect-9.2 P-16ESect-9.2 P-17ESect-9.2 P-18ESect-9.2 P-19ESect-9.2 P-20ESect-9.2 P-21ESect-9.2 P-22ESect-9.2 P-23ESect-9.2 P-24ESect-9.2 P-25ESect-9.2 P-26ESect-9.2 P-27ESect-9.2 P-28ESect-9.2 P-29ESect-9.2 P-30ESect-9.2 P-31ESect-9.2 P-32ESect-9.2 P-33ESect-9.2 P-34ESect-9.2 P-35ESect-9.2 P-36ESect-9.2 P-37ESect-9.2 P-38ESect-9.2 P-39ESect-9.2 P-40ESect-9.2 P-41ESect-9.2 P-42ESect-9.2 P-43ESect-9.2 P-44ESect-9.2 P-45ESect-9.2 P-46ESect-9.2 P-47ESect-9.2 P-48ESect-9.2 P-49ESect-9.2 P-50ESect-9.2 P-51ESect-9.2 P-52ESect-9.2 P-53ESect-9.2 P-54ESect-9.2 P-55ESect-9.2 P-56ESect-9.2 P-57ESect-9.2 P-58ESect-9.2 P-59ESect-9.2 P-60ESect-9.2 P-61ESect-9.2 P-62ESect-9.2 P-63ESect-9.2 P-64ESect-9.2 P-65ESect-9.2 P-66ESect-9.2 P-67ESect-9.2 P-68ESect-9.2 P-69ESect-9.2 P-70ESect-9.2 P-71ESect-9.2 P-72ESect-9.2 P-73ESect-9.2 P-74ESect-9.2 P-75ESect-9.2 P-76ESect-9.2 P-77ESect-9.2 P-78ESect-9.2 P-79ESect-9.2 P-80ESect-9.2 P-81ESect-9.2 P-82ESect-9.2 P-83ESect-9.2 P-84ESect-9.2 P-85ESect-9.2 P-86ESect-9.2 P-87ESect-9.2 P-88ESect-9.2 P-89ESect-9.2 P-90ESect-9.2 P-91ESect-9.2 P-92ESect-9.2 P-93ESect-9.2 P-94ESect-9.2 P-95ESect-9.2 P-96ESect-9.2 P-97ESect-9.2 P-98ESect-9.2 P-99ESect-9.2 P-100ESect-9.2 P-101ESect-9.2 P-102ESect-9.2 P-103ESect-9.2 P-104ESect-9.3 P-1ESect-9.3 P-2ESect-9.3 P-3ESect-9.3 P-4ESect-9.3 P-5ESect-9.3 P-6ESect-9.3 P-7ESect-9.3 P-8ESect-9.3 P-9ESect-9.3 P-10ESect-9.3 P-11ESect-9.3 P-12ESect-9.3 P-13ESect-9.3 P-14ESect-9.3 P-15ESect-9.3 P-16ESect-9.3 P-17ESect-9.3 P-18ESect-9.3 P-19ESect-9.3 P-20ESect-9.3 P-21ESect-9.3 P-22ESect-9.3 P-23ESect-9.3 P-24ESect-9.3 P-25ESect-9.3 P-26ESect-9.3 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P-17ESect-9.4 P-18ESect-9.4 P-19ESect-9.4 P-20ESect-9.4 P-21ESect-9.4 P-22ESect-9.4 P-23ESect-9.4 P-24ESect-9.4 P-25ESect-9.4 P-26ESect-9.4 P-27ESect-9.4 P-28ESect-9.4 P-29ESect-9.4 P-30ESect-9.4 P-31ESect-9.4 P-32ESect-9.4 P-33ESect-9.4 P-34ESect-9.4 P-35ESect-9.4 P-36ESect-9.4 P-37ESect-9.4 P-38ESect-9.4 P-39ESect-9.4 P-40ESect-9.4 P-41ESect-9.4 P-42ESect-9.4 P-43ESect-9.4 P-44ESect-9.4 P-45ESect-9.4 P-46ESect-9.4 P-47ESect-9.4 P-48ESect-9.4 P-49ESect-9.4 P-50ESect-9.4 P-51ESect-9.4 P-52ESect-9.4 P-53ESect-9.4 P-54ESect-9.4 P-55ESect-9.4 P-56ESect-9.4 P-57ESect-9.4 P-58ESect-9.4 P-59ESect-9.4 P-60ESect-9.4 P-61ESect-9.4 P-62ESect-9.4 P-63ESect-9.4 P-64ESect-9.4 P-65ESect-9.4 P-66ESect-9.4 P-67ESect-9.5 P-58ESect-9.5 P-1ESect-9.5 P-2ESect-9.5 P-3ESect-9.5 P-4ESect-9.5 P-5ESect-9.5 P-6ESect-9.5 P-7ESect-9.5 P-8ESect-9.5 P-9ESect-9.5 P-10ESect-9.5 P-11ESect-9.5 P-12ESect-9.5 P-13ESect-9.5 P-14ESect-9.5 P-15ESect-9.5 P-16ESect-9.5 P-17ESect-9.5 P-18ESect-9.5 P-19ESect-9.5 P-20ESect-9.5 P-21ESect-9.5 P-22ESect-9.5 P-23ESect-9.5 P-24ESect-9.5 P-25ESect-9.5 P-26ESect-9.5 P-27ESect-9.5 P-28ESect-9.5 P-29ESect-9.5 P-30ESect-9.5 P-31ESect-9.5 P-32ESect-9.5 P-33ESect-9.5 P-34ESect-9.5 P-35ESect-9.5 P-36ESect-9.5 P-37ESect-9.5 P-38ESect-9.5 P-39ESect-9.5 P-40ESect-9.5 P-41ESect-9.5 P-42ESect-9.5 P-43ESect-9.5 P-44ESect-9.5 P-45ESect-9.5 P-46ESect-9.5 P-47ESect-9.5 P-48ESect-9.5 P-49ESect-9.5 P-50ESect-9.5 P-51ESect-9.5 P-52ESect-9.5 P-53ESect-9.5 P-54ESect-9.5 P-55ESect-9.5 P-56ESect-9.5 P-57ESect-9.5 P-59ESect-9.5 P-60ESect-9.5 P-61ESect-9.5 P-62ESect-9.5 P-63ESect-9.5 P-64ESect-9.5 P-65ESect-9.5 P-66ESect-9.5 P-67ESect-9.5 P-68ESect-9.5 P-69ESect-9.5 P-70ESect-9.5 P-71ESect-9.5 P-72ESect-9.5 P-73ESect-9.5 P-74ESect-9.5 P-75ESect-9.5 P-76ESect-9.5 P-77ESect-9.5 P-78ESect-9.5 P-79ESect-9.5 P-80ESect-9.5 P-81ESect-9.5 P-82ESect-9.6 P-1ESect-9.6 P-2ESect-9.6 P-3ESect-9.6 P-4ESect-9.6 P-5ESect-9.6 P-6ESect-9.6 P-7ESect-9.6 P-8ESect-9.6 P-9ESect-9.6 P-10ESect-9.6 P-11ESect-9.6 P-12ESect-9.6 P-13ESect-9.6 P-14ESect-9.6 P-15ESect-9.6 P-16ESect-9.6 P-17ESect-9.6 P-18ESect-9.6 P-19ESect-9.6 P-20ESect-9.6 P-21ESect-9.6 P-22ESect-9.6 P-23ESect-9.6 P-24ESect-9.6 P-25ESect-9.6 P-26ESect-9.6 P-27ESect-9.6 P-28ESect-9.6 P-29ESect-9.6 P-30ESect-9.6 P-31ESect-9.6 P-32ESect-9.6 P-33ESect-9.6 P-34ESect-9.6 P-35ESect-9.6 P-37ESect-9.6 P-36ESect-9.6 P-38ESect-9.6 P-39ESect-9.6 P-40ESect-9.6 P-41ESect-9.6 P-42ESect-9.6 P-43ESect-9.6 P-44ESect-9.6 P-45ESect-9.6 P-46ESect-9.6 P-47ESect-9.6 P-48ESect-9.6 P-49ESect-9.6 P-50ESect-9.6 P-51ESect-9.6 P-52ESect-9.6 P-53ESect-9.6 P-54ESect-9.6 P-55ESect-9.6 P-56ESect-9.6 P-57ESect-9.6 P-58ESect-9.6 P-59ESect-9.6 P-60ESect-9.6 P-61ESect-9.6 P-62ESect-9.6 P-63ESect-9.6 P-64ESect-9.6 P-65ESect-9.6 P-66ESect-9.6 P-67ESect-9.6 P-68ESect-9.6 P-69ESect-9.6 P-70ESect-9.6 P-71ESect-9.6 P-72ESect-9.6 P-73ESect-9.6 P-74ESect-9.6 P-75ESect-9.6 P-76ESect-9.6 P-77ESect-9.6 P-78ESect-9.6 P-79ESect-9.6 P-80ESect-9.6 P-81ESect-9.6 P-82ESect-9.6 P-83ESect-9.6 P-84ESect-9.6 P-85ESect-9.6 P-86ESect-9.6 P-87ESect-9.6 P-88ESect-9.6 P-89ESect-9.6 P-90ESect-9.6 P-91ESect-9.6 P-92ESect-9.6 P-93ESect-9.6 P-94ESect-9.6 P-95ESect-9.6 P-96ESect-9.6 P-97ESect-9.6 P-98ESect-9.6 P-99ESect-9.6 P-100ESect-9.6 P-101ESect-9.6 P-102ESect-9.6 P-103ESect-9.6 P-104ESect-9.6 P-105ESect-9.6 P-106ESect-9.6 P-107ESect-9.6 P-108ESect-9.6 P-109ESect-9.6 P-110ESect-9.7 P-59ESect-9.7 P-62ESect-9.7 P-63ESect-9.7 P-1ESect-9.7 P-2ESect-9.7 P-3ESect-9.7 P-4ESect-9.7 P-5ESect-9.7 P-6ESect-9.7 P-7ESect-9.7 P-8ESect-9.7 P-9ESect-9.7 P-10ESect-9.7 P-11ESect-9.7 P-12ESect-9.7 P-13ESect-9.7 P-14ESect-9.7 P-15ESect-9.7 P-16ESect-9.7 P-17ESect-9.7 P-18ESect-9.7 P-19ESect-9.7 P-20ESect-9.7 P-21ESect-9.7 P-22ESect-9.7 P-23ESect-9.7 P-24ESect-9.7 P-25ESect-9.7 P-26ESect-9.7 P-27ESect-9.7 P-28ESect-9.7 P-29ESect-9.7 P-30ESect-9.7 P-31ESect-9.7 P-32ESect-9.7 P-33ESect-9.7 P-34ESect-9.7 P-35ESect-9.7 P-36ESect-9.7 P-37ESect-9.7 P-38ESect-9.7 P-39ESect-9.7 P-40ESect-9.7 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