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Discrete Mathematics With Applications5th Edition

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Chapter 9.7, Problem 41ES
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5th Edition
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Textbook Problem
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For every integer n ≥ 1 ,
( 0 n ) − 1 2 ( 1 n ) + 1 2 2 ( 2 n ) − 1 2 3 ( 3 n ) + ... + ( − 1 ) n − 1 1 2 n − 1 ( n − 1 n ) = { 1 2 n − 1   if  n   in   odd . 0   if   n   is   eveen

To determine

To prove that for every integer n≥1 ,

(n0)−12(n1)+122(n2)−123(n3)+…+(−1)n−112n−1(n n−1)={0            if n is even 1 2 n−1   if n is odd

Explanation

Given:

The integer n≥1.

Calculation:

Consider; 1−12=12.

Then,

(1− 1 2)n=( 1 2)n( n 0 )(1)n(− 1 2)0+( n 1 )(1)n−1(− 1 2)1+( n 2 )(1)n−2(− 1 2)2+( n 3 )(1)n−3(− 1 2)3+…+( n n−1 )(1)1(− 1 2)n−1+( n n )(1)0(− 1 2)n=( 1 2)n( n 0 )−12( n 1 )+122( n 2 )−123( n 3 )+…+(−1)n−112 n−1( n n−1 )=( 1 2)n−(−1)n( 1 2)n←(1)

Let n=2m where m∈ℤ+∪0 ,

From (1) ;

Right side=(12)2m−(−1)2m(12)2m=(12)2m−(12)2m=0←(2)

Hence, from 1 and 2;

(n0)−12(n1)+122(n2)−123(n3)+…+(−1)n−112n−1(n n−1)=(12)n−(−1)n(12)n=0 when n is an even integer

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