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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337275361

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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337275361
Textbook Problem

Using Taylor’s Theorem In Exercises 45-50, use Taylor’s Theorem to obtain an upper bound for the error of the approximation. Then calculate the exact value of the error.

cos ( 0.3 ) 1 ( 0.3 ) 2 2 ! + ( 0.3 ) 4 4 !

To determine

To calculate: The upper bound for the error of approximation, using the Taylor’s theorem and the exact value of error for the function, cos(0.3)=1(0.3)2!2+(0.3)44!.

Explanation

Given:

The function is

cos(0.3)=1(0.3)2!2+(0.3)44!

Formula Used:

From Taylors Theorem, the remainder for a taylor polynomial is

|Rn(x)|=|fn+1(z)n+1!(xc)n+1|

Calculation:

Consider Maclaurin Series Expansion for cos(x),

cos(x)=1x2!2+x44!

At the values, n=3, c=0.

The above Taylor polynomial is both the 4th-order Maclaurin polynomial and the 5th-order Maclaurin polynomial for cos(x).

The upper bound of error for the 4th-order approximation is

R4(x)=|f5(z)5!x5|

The value of the fifth derivative is

f5(z)=sinz

Substitute the value of fifth derivative in the upper bound error,

R4(x)=|sinz5!x5||x55!|

Therefore, for the series at x=0

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