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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337275361

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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
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Textbook Problem

Graphical Reasoning The figure shows the graphs of the function f ( x ) = sin ( π x / 4 ) and the second-degree Taylor polynomial P 2 ( x ) = 1 ( π 2 / 32 ) ( x 2 ) 2 centered at x = 2.

images

(a) Use the symmetry of the graph of f to write the second- degree Taylor polynomial Q 2 ( x ) for f centered at x = 2 .

(b) Use a horizontal translation of the result in part (a) to find the second-degree Taylor polynomial R 2 ( x ) for f centered at x = 6 .

(c) Is it possible to use a horizontal translation of the result in part (a) to write a second-degree Taylor polynomial for f centered at x = 4 ? Explain.

(a)

To determine

To calculate: The second-degree Taylor polynomial Q2(x) for the function f centered at x=2 using the symmetry of graph of the function f.

Explanation

Given:

The figure shows the graph of function f(x)=sin(πx4) and the second-degree Taylor polynomial is P2(x)=1(π232)(x2)2,

Formula used:

The

f(x)=Q2(x)=f(2)+f'(2)(x+2)+f"(2)2!(x+2)2 [using the second degree taylor polynomial Q2(x) for f centered at c=-2]

Calculation:

Consider the provided function f(x)=sin(πx4)

The second-degree Taylor polynomial of function is f(x) centered at x=2 is

P2(x)=1(π232)(x2)2

The graph for the functions f(x) and P2(x) is depicted below:

Consider the second-degree Taylor polynomial Q2(x) for f centered at x=2.

From the graph shown above, interpret that the function f(x) is symmetric about the origin.

That is if the point (2, 1) lies on the graph, then the point (-2,-1) also lies on the graph for the function f(x).

So f(2)=1

Also at the point (-2,-1), the graph of the function f (x) has a horizontal tangent and slope of the tangent line at the point is 0 there

(b)

To determine

To calculate: The second degree Taylor Polynomial R2(x) for the finction f centered at x=6 with the help of a horizontal translation of the result in part (a).

(c)

To determine

If a horizontal translation of the polynomial function Q2(x) can be used to compose a second degree Taylor polynomial for f centered at x=4.

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