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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Textbook Problem

Radius of Convergence Describe the radius of convergence of a power series.

To determine

The radius of convergence of a power series.

Explanation

A power series in x can be viewed as a function of x:

f(x)=n=0an(xc)n

Where the domain of f is the set of all x for which the power series converges.

Every power series converges at its center because:

f(c)=n=0an(cc)n=a0(1)+0+0+....+0+...=a0

So, c always lies in the domain of f. A theorem below states that the domain of a power series can take three basic forms: a single point, an interval centered at c, or the entire real number line.

Theorem:

For a power series centered at c, precisely one of the following is true.

1. The series converges only at c.

2. There exists a real number R>0 such that the series converges absolutely for:

|xc|<R

And diverges for:

|xc|>R.

3. The series converges absolutely for all x.

The number R mentioned above is the radius of convergence of the power series. If the series converges only at c, then the radius of convergence is R=0

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