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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337275361

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Calculus of a Single Variable

11th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337275361
Textbook Problem

Investigation The interval of convergence of the geometric

Series n 0 ( x 4 ) n is ( 4 , 4 ) .

(a) Find the sum of the series when x = 5 2 . Use a graphing utility to graph the first six terms of the sequence of partial sums and the horizontal line representing the sum of the series.

(b) Repeat part (a) for x = 5 2 .

(c) Write a short paragraph comparing the rates of convergence of the partial sums with the sums of the series in parts (a) and (b). How do the plots of the partial sums differ as they converge toward the sum of the series?

(d) Given any positive real number M, there exists a positive integer N such that the partial sum

n 0 N ( 5 4 ) n > M

Use a graphing utility to complete the table.

M 10 100 1000 10,000
N        

(a)

To determine

To calculate: The sum of the series n=0(x4)n when x=52

Explanation

Given: The interval of convergence of the geometric series n=0(x4)n is (4,4)

Formula used:

The sum of geometric series is:

a1r

Calculation:

Given series is:

n=0(x4)n

Find the sum of the series, when x=52

Then, the series becomes n=0(58)n

It is a geometric series with a=1,r=58

The sum of the given geometric series is,

a1r=1158=83

Hence, the sum of series when x=52 is n=0(58)n=83

Graph of first 6 terms of partial sums are shown below in the red color and blue color dots represent the terms of series

(b)

To determine

To calculate: The sum of the series n=0(x4)n when x=52.

(c)

To determine

Comparison of the rates of convergence of the partial sums with the sums of the series in part (a) and (b)

(d)

To determine

To calculate: the value of positive integer N for given values of M.

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