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Discrete Mathematics With Applications5th Edition

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Chapter 9.9, Problem 9ES
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Discrete Mathematics With Applicat...

5th Edition
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Textbook Problem
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Prove Bayes’ theorem for n=2. That is, prove that if a sample space S is a union of mutually disjoint events B 1 and B 2 if A is an event in S with P ( A ) ≠ 0 , and k = 1 or k = 2 , then

P ( B k | A ) = P ( A | B k ) P ( B k ) P ( A | B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A | B 2 ) P ( B 2 ) .

To determine

To prove the Bayes’ theorem for n=2.

Explanation

Given information:

A sample space S is a union of mutually disjoint events B1 and B2, if A is an event in S with P(A)≠0 and if k=1 or k=2, then

P(Bk|A)=P(A|Bk)P(Bk)P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)

Calculation:

It is given that S is a union ofmutually disjoint events B1 and B2.

⇒S=B1∪B2⇒A=A∩S⇒A=A∩(B1∪B2)⇒A=(A∩B1)∪(A∩B2)  {since A is any event is S therefore                                           (A∩B1) and (A∩B2) are mutually disjoint}⇒P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)⇒P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)   

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