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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

Find the derivative of the function.

y = 2 x 3 x + 1 sin ( t 4 )   d t

To determine

To find:

Derivative of thegiven function

Explanation

1) Concept:

i) First Fundamental Theorem of Calculus

 If f is continuous on a, b, then he function g defined by

gx=axf(t)dt

is continuous on a, b and differentiable on (a, b), and g'x=f(x)

ii) Chain Rule:

If y=f(u) and u=g(x) are both differentiable functions, then

dydu=dydu·dudx

2) Property:

i) abf(x)=acf(x)dx+cbfxdx

ii) baf(x)dx=-abf(x)dx

3) Given:

y=2x3x+1sin(t4) dt 

4) Calculation:

By using property(i),

2x3x+1sin(t4) dt  =2xcsin(t4)dt+c3x+1sin(t4)dt

where c is any constant

by using property (ii),

2xcsin(t4)dt=-c2xsin(t4)dt

So,

2x3x+1sin(t4) dt  =-c2xsin(t4)dt+c3x+1sin(t4)dt

Now evaluating the integrals separately,

For, y=-c2xsin(t4)dt

Substitute, u=2x

Differentiating with respect to x,

dudx=2

y=-c

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