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Calculus: Early Transcendental Fun...

7th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781337552516

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Calculus: Early Transcendental Fun...

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Textbook Problem

Finding Area by the Limit Definition In Exercises 47-56, use the limit process to find the area of the region bounded by the graph of the function and the x-axis over the given interval. Sketch the region.

y = x 2 + 2 , [ 0 , 1 ]

To determine

To calculate: The area of the region bounded by the function y=x2+2, in the interval [0,1] and the x-axis.

Explanation

Given: The provided function is:y=x2+2, in the interval [0,1].

Formula used: The sum of squares of first n natural is given by the formula:

i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6

The sum of a constant n times is written as: i=1nc=nc

Use right endpoints area is written as: Area=limni=1ny(Mi)(Δx),

Where, Mi are the right end points.

Calculation: Note that the provided function y is continuous and non-negative in the interval [0,1].

So, begin by partition the interval into n subintervals each of width, Δx:

Δx=10n=1n

Area can be calculated by left endpoints (mi) or right endpoints (Mi). For thisproblem the right endpoints are convenient.

Right endpoints (Mi) are:

0+in=in,

i=1,2,3,.......,n

So, Area=limni=1ny(Mi)(Δx)

Where, Mi are the right endpoints, and Mi=in.

Put value of y(in),

Area=limni=1n((in)2+2)(1n)=limni=1n1n3(i2)+limni=1n(2n)

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P-3ESect-5.2 P-4ESect-5.2 P-5ESect-5.2 P-6ESect-5.2 P-7ESect-5.2 P-8ESect-5.2 P-9ESect-5.2 P-10ESect-5.2 P-11ESect-5.2 P-12ESect-5.2 P-13ESect-5.2 P-14ESect-5.2 P-15ESect-5.2 P-16ESect-5.2 P-17ESect-5.2 P-18ESect-5.2 P-19ESect-5.2 P-20ESect-5.2 P-21ESect-5.2 P-22ESect-5.2 P-23ESect-5.2 P-24ESect-5.2 P-25ESect-5.2 P-26ESect-5.2 P-27ESect-5.2 P-28ESect-5.2 P-29ESect-5.2 P-30ESect-5.2 P-31ESect-5.2 P-32ESect-5.2 P-33ESect-5.2 P-34ESect-5.2 P-35ESect-5.2 P-36ESect-5.2 P-37ESect-5.2 P-38ESect-5.2 P-39ESect-5.2 P-40ESect-5.2 P-41ESect-5.2 P-42ESect-5.2 P-43ESect-5.2 P-44ESect-5.2 P-45ESect-5.2 P-46ESect-5.2 P-47ESect-5.2 P-48ESect-5.2 P-49ESect-5.2 P-50ESect-5.2 P-51ESect-5.2 P-52ESect-5.2 P-53ESect-5.2 P-54ESect-5.2 P-55ESect-5.2 P-56ESect-5.2 P-57ESect-5.2 P-58ESect-5.2 P-59ESect-5.2 P-60ESect-5.2 P-61ESect-5.2 P-62ESect-5.2 P-63ESect-5.2 P-64ESect-5.2 P-65ESect-5.2 P-66ESect-5.2 P-67ESect-5.2 P-68ESect-5.2 P-69ESect-5.2 P-70ESect-5.2 P-71ESect-5.2 P-72ESect-5.2 P-73ESect-5.2 P-74ESect-5.2 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