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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
ISBN: 9781285057095

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Calculus

10th Edition
Ron Larson + 1 other
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Textbook Problem

Fourier Series The following sum is a finite Fourier series.

f ( x ) = i = 1 N a i sin i x = a 1 sin x + a 2 sin 2 x + a 3 sin 3 x + + a N sin N x

(a) Use Exercises 88 to show that the nth coefficient a n is given by a n = 1 π π π f ( x ) sin n x d x .

(b) Let f ( x ) = x . Find a 1 , a 2 , and a 3 .

(a)

To determine

To prove: The nth coefficient of the Fourier series f(x)=i=1Naisinix is 1πππf(x)sinnxdx.

Explanation

Given:

f(x)=i=1Naisinix is 1πππf(x)sinnxdx

Formula used:

Theexpression f(x)=i=1Naisinix=a1sinx+a2sin2x+a3sin3x+.....ansinnx

is an=1πππf(x)sinnxdx.

Proof:

Consider the following sum, a finite Fourier series;

f(x)=i=1naisinixf(x)=a1sinx+a2sin2x+a3sin3x+...+ansinnx

Now it needs to prove that the nth coefficient an is given by,

an=1πππf(x)sinnxdx

Now to prove above, consider the inner product of f(x) with sinnx on [π,π]

(f(x),sinnx)=ππf(x)sinnxdx(f(x),sinnx)=ππ(a1sinx+a2sin2x+a3sin3x+.....+ansinnx)sinnxdx(f(x),sinnx)=(a1ππsinxsinnxdx+a2ππsin2xsinnxdx+...+anππsinnxsinnxdx+...+aNππsinNxsinnxdx)(f(x),sinnx)=(a1ππsinxsinnxdx+a2ππsin2xsinnxdx+...+anππsin2nxdx+...+aNππsinNxsinnxdx)

Simplifying furthertoget:

ππf(x)sinnxdx=(2a10πsinxsinnxdx+2a20πsin2xsinnxdx+...+2an0πsin2nxdx+...+2aN0πsinNxsinnxdx)ππf(x)sinnxdx=(a10π2sinxsinnxdx+a20π2sin2xsinnxdx+...+an0π2sin2nxdx+...+aN0π2sinNxsinnxdx)ππf(x)sinnxdx=(a10π[cos(n1)xcos(n+1)x]dx+a20π[cos(n2)xcos(n+2)x]dx+an0π(1cos2nx)dx+

(b)

To determine

To calculate: The value of a1,a2 and a3 by taking f(x)=x in the Fourier series

f(x)=i=1Naisinix=a1sinx+a2sin2x+a3sin3x+.....ansinnx.

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