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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636

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Single Variable Calculus

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781305266636
Textbook Problem

Where should the point P be chosen on the line segment AB so as to maximize the angle θ?

images

To determine

To choose: The point P on the line segment AB which is maximize the angle θ.

Explanation

Let AP=x, then AP=3x.

Consider the given figure as follows.

From the given Figure 1, the triangle APC makes the angle α and the triangle PBD makes the angle β.

Here, it is observed that tanθ=tan(π(α+β)).

tanθ=tan((α+β))=tanα+tanβ1tanαtanβ

From the triangle APC, tanα=Opposite sideAdjacent side

tanα=ACAP=5x.

From the triangle PBD, tanα=Opposite sideAdjacent side

tanβ=BDPB=23x

Substitute tanα=5x and tanβ=23x in tanθ.

tanθ=(5x)+(23x)1(5x)(23x)=(5x)(23x)(5x)(23x)1=5(3x)2xx(3x)10x(3x)1=5(3x)2x10x(3x)

On further simplification,

tanθ=5x152x103x+x2=3x15x23x+10=3(x5)x23x+10

Consider the function f(x)=3(x5)x23x+10   0x5.

Solve the equation f(x)=0 in order to find the critical point of the function.

3(x5)x25x+6=03(x5)=0x=5

Differentiate f(x) and solve the equation f(x)=0 in order to find the point at which the curve maximizes the angle

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P-33ESect-6.2 P-34ESect-6.2 P-35ESect-6.2 P-36ESect-6.2 P-37ESect-6.2 P-38ESect-6.2 P-39ESect-6.2 P-40ESect-6.2 P-41ESect-6.2 P-42ESect-6.2 P-43ESect-6.2 P-44ESect-6.2 P-45ESect-6.2 P-46ESect-6.2 P-47ESect-6.2 P-48ESect-6.2 P-49ESect-6.2 P-50ESect-6.2 P-51ESect-6.2 P-52ESect-6.2 P-53ESect-6.2 P-54ESect-6.2 P-55ESect-6.2 P-56ESect-6.2 P-57ESect-6.2 P-58ESect-6.2 P-59ESect-6.2 P-60ESect-6.2 P-61ESect-6.2 P-62ESect-6.2 P-63ESect-6.2 P-65ESect-6.2 P-66ESect-6.2 P-67ESect-6.2 P-68ESect-6.2 P-69ESect-6.2 P-70ESect-6.2 P-71ESect-6.2 P-72ESect-6.2 P-73ESect-6.2 P-74ESect-6.2 P-75ESect-6.2 P-76ESect-6.2 P-77ESect-6.2 P-78ESect-6.2 P-79ESect-6.2 P-80ESect-6.2 P-81ESect-6.2 P-82ESect-6.2 P-83ESect-6.2 P-84ESect-6.2 P-85ESect-6.2 P-86ESect-6.2 P-87ESect-6.2 P-88ESect-6.2 P-89ESect-6.2 P-90ESect-6.2 P-91ESect-6.2 P-92ESect-6.2 P-93ESect-6.2 P-94ESect-6.2 P-95ESect-6.2 P-96ESect-6.2 P-97ESect-6.2 P-98ESect-6.2 P-99ESect-6.2 P-100ESect-6.2 P-101ESect-6.2 P-102ESect-6.2 P-103ESect-6.2 P-104ESect-6.2 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