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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621

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Calculus (MindTap Course List)

8th Edition
James Stewart
ISBN: 9781285740621
Textbook Problem

A painting in an art gallery has height h and is hung so that its lower edge is a distance d above the eye of an observer (as in the figure). How far from the wall should the observer stand to get the best view? (In other words, where should the observer stand so as to maximize the angle θ subtended at his eye by the painting?)

Chapter 6.6, Problem 48E, A painting in an art gallery has height h and is hung so that its lower edge is a distance d above

To determine

To Find: The maximum value of θ

Explanation

Let the angle made by the eye of the observer and the horizontal direction when the eye is looking at the lower point of the painting is ϕ. Let x be the distance of the wall from the observer.

Then, it implies that

tanϕ=dx  and  tan(θ+ϕ)=h+dxϕ=tan1(dx),θ+ϕ=tan1(h+dx)θ=tan1(h+dx)tan1(dx)

Find the derivative of the above with respect to x.

dθdx=ddx[tan1(h+dx)]ddx[tan1(dx)]=11+(h+dx)2ddx(h+dx)11+(dx)2ddx(dx)=x2x2+(h+d)2xddx(h+d)(h+d)ddx(x)x2x2x2+d2xddx(d)dddx(x)x2=x2x2+(h+d)2x(0)(h+d)(1)x2x2x2+d2x(0)d(1)x2=h+dx2+(h+d)2+dx2+d2

For maximum value of θ, dθdx=0

h+d

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